Космонавтика  Декомпозиция цифровых систем 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 [ 137 ] 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147

= DP-l =[0 0 ... 1]

= PB

о .

Aj = PAP- =

о .

.. 1

(1246) (12-47)

(12-48)

Таким образом, система с матрицами коэффициентов А, и В, представляет собой сопряженную каноническую форму фазовой переменной, поскольку эти матрицы являются соответственно транспонированными матрицами А и В канонической формы фазовой переменной. Окончательно имеем

0 .

. 0

0 .

. 0

. 0

(12-49)

0 .

.. 1

-1 -

Характеристическое уравнение преобразованного наблюдателя, описываемого уравнением (12-43) , имеет вид

1X1- Aj + KDj= X + (а -I- к )Х -1 + ...+

+ (a -i + ke2) + K + l)=0 (12-50)

Поэтому все элементы матрицы обратной связи содержатся только в соответствующих коэффшщентах характеристического уравнения. Для определения матрицы Р положим

(12-51)

где Р; - матрица-строка размерностью lXn,i= 1,2,...,п.Подставляя выражение (12-51) в (12-48).получим

AjP = РА=

Р2 - fn-2P

(12-52)



Из соотношения (12-46) следует, что DjP = D= [О О ... 1]Р = Р Тогда уравнение (12-52) принимает вид

-a D

Р2 - an-2D

P -l -

Из последило уравнения получаем Р , = a,D+ DA

n-1 1

P -2 = 2D+P -iA =

= a D -I- a, DA + DA

(12-53)

(12-54)

(12-55) (12-56)

P2 = V2D + а .зВА a,DA -3 + дд.

P = a iD + a .2DA + ... -1- аОА - -t- DA !

(12-57) (12-58)

Объединив соотношения (12-53) и (12-55) - (12-58) , запишем матрицу P

в виде

V2

. 1

. 0

DA -2

DA -1

(12-59)

Следует подчеркнуть, что коэффициенты 1, Дг. -, п-1 определяются последним столбцом матрицы А, [ см. уравнение (12-48) ]. Однако еще более важно, что эти коэффициенты находят из характеристического уравнения матрицы А, которое имеет форму

X + аХ -! + а2Х -2 -I- ... -I- а Х + а = О

(12-60)

Описанный метод сопряженной канонической формы фазовой переменной можно применять к системам с несколькими выходами. Предпо-



ложим, что в уравнении (12-37) с(к) теперь есть -мерный вектор, а D-матрица размерностью qXn. Поскольку изменение переменных состояния наблюдаемой системы не влияет отрицательно на ее наблюдаемость, можно преобразовать уравнения состояния к следующей форме:

у(к + 1)=

У(к) +

u(k)

(12-61)

где все А/, г = 1,2, g, представлены в сопряженной канонической форме фазовой переменной (12-48) .Уравнение выхода преобразуется к виду

с(к) =

У(к)

(12-62)

где Ц-, / = 1, 2, q, представлены в форме матрицы-строки (12-46).

Используем задачу синтеза наблюдателя из примера 12-2 для иллюстрации метода сопряженной канонической формы фазовой переменной.

Пример 12.3. Для цифрового процесса, описанного в примерах 12.1 н 12.2, запишем характеристическое уравнение матрицы А:

1Х1-А =

X -1 1 Х-1

= Х X -1- 1 = о

(12-63)

Сравнивая уравнения (12-60) и (12-63), видим, чтой1--1 исг = 1. Сопряженная

каноническая форма фазовой переменной для А имеет виц

0 -а

Для апериодической реакции Xg (л) - х(/с) из уравнения (12-50) находим е2 = - 1 = 1

Таким образом, -1

Ке =

Матрица преобразования Р определяется из соотношения (12-59) :

а, 1

-1 1

2 о

-2 2

1 0

1 0

0 2

2 0

(12-64)

(12-65)

(12-66)



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 [ 137 ] 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147