Космонавтика  Декомпозиция цифровых систем 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 [ 136 ] 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147

Юг \ л,СА; / \ Рис. 124. Изменения состояния цифровой

Y < < / I К / I \ I системы и наблюдателя

ч,о1 \ / \-/ \-

Исследуем влияние начальных состоя-Щ /-л / НИИ и взаимное влияние этих двух

д I / I \ I-/-I \ I I систем с помощью z-преобразования

4 в, 10 72 к уравнений (12-25) и (12-26). После

переобозначения членов уравнения имеют вид

(12-27) (12-28)

(zl - A)X(z) = zx(0) + BER(z) - BGXg(z) (zl - A + BG + GgD)X(z) = zXg(O) -I- GDX(z) + BER(z)

Вычитая (12-28) из (12-27), при x(0) =Xe(0) получим:

(zl - A + GgD)X(z) = (zl - A + GD)XJz) (12-29)

Таким образом,

x(k) = xJk) (12-30)

и уравнение (12-27) принимает вид

(zl - А -I- BG)X(z) = zx(0) + BER(z) (12-31)

Этот результат показывает, что при х(0) = х (0) динамика исходной системы не зависит от динамики наблюдателя. Однако в общем случае переходный процесс исходной системы при х(0) Ф \g (0) будет определяться наблюдателем.

Вьиитая уравнение (12-26) из (12-25), получим

х(к -I- 1) - х(к -I- 1) = (А - GD)[x(k) - xJk)] (12-32)

откуда видно, что при заданных А и D свободное движение х{к) - Xg (к) зависит только от Gg. Позтому проектирование наблюдателя для системы с матрицей обратной связи по состоянию G может по-прежнему вьшол-няться на основе размещения собственных значений А-GgD. Единственное отличие состоит в том, что при х(0) Ф Xg{0) на реакцию системы х{к) будет влиять динамика наблюдателя из-за наличия обратной связи по Хе (к) через матрицу G. В следующем примере рассмотрены характеристики системы совместно с наблюдателем из примера 12.1 с учетом обратной связи по состоянию.

Пример 12.2. Рассмотрим цифровой процесс из примера 12.1 с оптимальной матрицей коэффициентов обратной связи, полученной в примере 11.3:

G = [-0.654 0.486] (12-33)

НаЪц&шая в примере 12.1 матрица коэффициентов обратной связи цифрового наблюдателя, обеспечивающая апериодическую реакцию х (fc) - Xg (fc) , имеет вид

0.5 О

(12-34)



Таким образом, для r(fc) = О запишеК(с учётом (12-23) и (12-26) уравнение состояния цифровой системы с обратной связью и наблюдателем

х(к -I-1)

хк -I-1)

A-BG-GgD

х(к)

xjk)

О 1 -1 1

1 О

О о

0.654

-0.486

-1 -0.346

0.514

х(к)

xjk)

(12-35)

На рис. 12.5 представлены изменения переменных состояния xi (fc) и (к) при (0) = еО) > что эквивалентно отсутствию наблюдателя. Процесс в исходной системе с наблюдателем также представлен на рис. 12.5. Как было показано выше, динамика наблюдателя оказывает влияние на переходный процесс системы. При выбранных начальных состояниях Xg (к) принимает значение х (fc) после двух периодов квантования.

Синтез с помощью сопряженной канонической формы фазовой переменной. Поскольку синтез наблюдателя, представленный выше основан на размещении собственных значений замкнутого наблюдателя, то для этой цели можно использовать преобразование к канонической форме фазовой переменной, описанное в п. 4.13. Рассмотрим только системы с одним входом и выходом.

Сформулируем снова задачу синтеза наблюдателя. Состояния, которые необходимо восстановить, описываются уравнением состояния

х(к + 1) = Ах(к) + Ви(к) (12-36)

где х(к) - и-мерный вектор; и (к) - скалярная входная переменная. Управляющее воздействие определяется с помощью обратной связи по состоянию, M(fc) = - Gx{к) , а уравнение выхода имеет вид

с(к) = Dx(k) (12-37)

где с (к) - скалярная выходная переменная; D - матрица размерностью 1 X и. Динамика наблюда- 7,0

теля описывается соотношением [ см. уравнение (12-13)]

xjk + 1) = (А -

- GD)x(k) + Bu(k) -I-

-I- Gc(k) (12-38)

Рис. 2.5. Переходные процессы в цифровой замкнутой системе с наблюдателем


x,(/f) асковная система

-7,0



Исходная замкнутая система представлена уравнением

х(к + 1) = (А - BG)x(k) (12-39)

Известно, что если пара [А, В] полностью управляема, то собственные значения А - ВС могут располагаться произвольно с помощью соответствующего выбора элементов матрицы обратной связи G, В п. 4.16 было показано, что если пара [ А, В] управляема, А и В могут быть преобразованы в каноническую форму фазовой переменной вида (4-295) и (4-296). Тогда каждый из элементов матрицы обратной связи зависит только от одного коэффициента характеристического уравнения. Как следует из уравнения (12-38), при синтезе наблюдателя по заданным собственным значениям возникает подобная задача. В зтом случае собственные значения А - GgD должны быть размещены определенным образом с помощью соответствующего выбора элементов матрицы обратной связи Gg. Поскольку собственные значения А - GgD совпадают с собственными значениями (А - GgD) = А - DGg, можно провести параллель между системой с матрицами коэффициентов А, В, G и системой с матрицами А, D, Gg. Заметим, что предпосьшкой произвольного задания собственных значений наблюдателя является полная управляемость пары [ А, ЕУ] , что эквивалентно наблюдаемости [А, D], т. е. требованию, которое бьшо сформулировано вн. 12.1.

Вначале нужно преобразовать уравнения наблюдателя к так называемой сопряженной канонической форме фазовой переменной. Необходимость этого преобразования вызвана тем, что представление матрицы коэффициентов в форме А - DGg позволяет вьщелить элементы матрицы обратной связи в коэффициентах характеристического уравнения. Эта матрица соответствует системе с уравнением состояния вцца

у(к -ь 1) = Ау(к) + Dv(k) (12-40)

v(k) = -G;y(k) (12-41)

у(к -Ы) = (А - DG;)y(k) (12-42)

Необходимо преобразовать уравнения наблюдателя (12-38) в следующую форму:

у(к + 1) = (Aj - KDi)ye(k) + Biu(k) + Кс(к) (12-43)

где Ai имеет размерность иХ и, Kg, Bj - размерность иХ 1, Dj - размерность 1 Хи. В общем случае и(к) не обязательно должна быть скалярной входной переменной, поскольку матрица В, не будет входить в уравнения, используемые при синтезе. Искомое преобразование имеет вид

Уе(к) = Pxjk) (12-44)

где Р - невырожденная матрица. Тогда

Ke = PG,= [ki \ ... (12-45)



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 [ 136 ] 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147