Космонавтика  Декомпозиция цифровых систем 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 [ 135 ] 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147

12.2. СИНТЕЗ НАБЛЮДАТЕЛЯ СОСТОЯНИЯ ПОЛНОГО ПОРЯДКА

Наблюдатель состояния, изображенный на рис. 12.1, должен проектироваться таким образом, чтобы восстанавливаемое состояние (к) было как можно ближе к действительному состоянию \(к). Существует много способов проектирования цифровых наблюдателей состояния и, как правило, несколько способов определения близости Xg(k) и х(к). Можно предположить, что наблюдатель состояния описывается такими же уравнениями состояния, как и исходная система. Однако в структуре наблюдателя, использующего и{к) и с(к) в качестве входных переменных, должна быть предусмотрена возможность автоматической минимизации отклонения х(к) от Xg (к).

Проектирование цифрового наблюдателя состояния, описываемое ниже, аналогично проектированию наблюдателя для непрерывных систем.

Поскольку х{к) не может измеряться непосредственно, нельзя сравнивать Хе(к) и х(к). Вместо этого можно сравнивать с (к) ис(к), где

с(к) = Dx(k) (12-12)

На рис. 12.2 представлена логическая структура цифрового наблюдателя состояния, основанная на предшествующих рассуждениях. Наблюдатель представляет собой замкнутую систему управленрш с матрицей обратной связи Gg. Задача проектированрш состоит в нахождении такой матрицы Gg, чтобы отклонение Cg (к) от с(к) уменьшалось как можно быстрее.

Уравнение состояния замкнутого наблюдателя имеет вид

xjk + 1) = (А - GD)x(k) + Bu(k) + Gc(k) (12-13)

где матрицы А, В и D совпадают с матрицами в уравнениях (12-2) и (12-3), а Gf - матрица обратной связи размерностью nXq. Если переменная Се(к) равна с (А:), уравнение (12-13) принимает вид

xjk + 1) = Axjk) + Bu(k) (12-14)

который идентичен уравнению состояния исходной системы.

Объединяя структурные схемы наблюдателя состояния (12-2) и цифровой системы управления (12-1), получим комбинированную систему, представленную на рис. 12.3.

Поскольку сХк) и х(к) связаны соотношением (12-3), перепишем уравнение (12-13):

хДк + 1) = Axjk) + Bu(k) + G П[х(к) - xjk)]

(12-15)


Рис. 12.2. Цифровой наблюдатель состояния с обратной связью




Рис. 12.3. Цифровая система управления с наблюдателем

Смысл этого уравнения состоит в том, что если совпадают начальные состояния х(0) и Хе(0), уравнение (12-15) идентично уравнению (12-14), а значит, реакция наблюдателя совпадает с реакцией исходной системы. Поэтому проектирование наблюдателя имеет смысл, когда начальные условия для х(к) HXe(fc) различны.

Вычитая уравнение (12-15) из (12-2), получим следующее выражение:

х(к + 1) - xjk + 1) = (А - G D)[x(k) - xjk)]

(12-16)

которое можно рассматривать как однородное разностное уравнение состояния линейной цифровой системы с матрицей коэффициентов А-GgD. Один из способов обеспечения быстрой сходимости Xg{k) к х{к) состоит в определении матрицы Gg из условия соответствующего размещения собственных значений А-GgD на z-плоскости. На основании методики проектирования по заданным собственным значениям, описанной в гл. 4, элементы Gg должны выбираться таким образом, чтобы траектория свободного движения системы (12-16) стремилась к нулю как можно быстрее.

Поскольку собственные значения матриц А-GD и {A-GgD) = А- -DGg совпадают, то, как следует из п. 4.13, условие произвольного размещения собственных значений А-GgD состоит в том, чтобы пара [А, D] бьша полностью управляемой. Так как управляемость [А, D] эквивалента полной наблюдаемости [А, D], выполнение этого условия будет гарантировать не только существование наблюдателя состояния, но и возможность произвольного размещения его собственных значений.

Следующий пример иллюстрирует процедуру синтеза наблюдателя состояния по заданным собственным значениям.

Пример 12.1. Рассмотрим цифровой процесс из примера 11.3 с уравнениями состояния

х(к -I- 1) = Ах(к) -I- Ви(к)

(12-17)



0 1

-1 1

Пусть уравнение выхода имеет вид с(к) = Dx(k)

D=[2 0]

(12-18)

(12-19)

Необходимо спроектировать цифровой наблюдатель, который восстанавливает состояния Xi{k) и Х2 (к) по выходной переменной с ik).

Цифровой наблюдатель имеет структурную схему, изображенную на рнс. 12.2. Характеристическое уравнение наблюдателя описывается соотношением

XI-A + GgD = 0 (12-20)

x2 + (2gl-l)X+l + 2g2-2gei = 0

(12-21)

Ше gel и - элементы матрицы обратной связи Gg размч)Ностью 2X1. Спроектируем наблюдатель, имеющий апериодическую реакцию, при которой Xg (к) достигает значения х (fc) за два периода квантования. Для апериодической реакции наблюдателя необходимо, чтобы характеристическое уравнение имело вид

>2,

Х = 0

(12-22)

Таким образом, из уравнения (12-21) следует, 4Toggi =0,5 Hge2 =0. Соответствующая матрица коэффициентов для замкнутого наблюдателя имеет вид

A-GgD =

-1 -1

Для и(к) = 0 запишем уравнения состояния наблюдателя

(12-23)

xjk + 1) =

-1 1

1 0

х,(к)+

-1 1

0 0

х(к)

(12-24)

Зададим произвольно начальные состояния системы и наблюдателя

х(0) =

xJO) =

0.5 О

Решим итерационно уравнения (12-17) и (12-24), начиная с заданных начальных состояний. Истинные состояния Xj {к), х (fc) и восстановленные состояния xi (к), Xg2 (KS представлены на рис. 12.4. Восстановленные состояния достигают значений действительных состояний самое большое за два периода квантования.

Замкнутая система управления с наблюдателем. В проведенном синтезе цифрового наблюдателя предполагалось, что система управления является разомкнутой, т. е. G = О (см. рис. 12.3). Для общего случая, представленного на рис. 12.3, запишем уравнения состояния следующим образом:

х(к ч- 1) = Ах(к) - BGx fk) -ь ВЕг(к)

xjk-l- 1)= (A-BG

G D)x fk) -I- G Dx(k) -b BEr(k)

(12-25) (12-26)



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 [ 135 ] 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147