Космонавтика  Декомпозиция цифровых систем 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 [ 134 ] 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147

Э СтК-1в,Э КШ+ 1g(0)[A-BG(0)]2 (11-246)

где dK(7)/d7 определяется из уравнения (11-206).

Сравнивая эти результаты с результатами, полученными в гл. 5, отметим, что первые два члена ряда Тейлора для g(7) в обоих случаях совпадают.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Dorato, Р., and Levis, А. Н., Optimal Linear Regulator: The Discrete-Time Case, IEEE Trans, on Automatic Control, Vol. AC-16, December 1971, pp. 613-620.

2. Юе1птап, D. L., Stabilizing A Discrete, Constant, Linear,System With Application to Iterative Methods for Solving the Riccati Equation, IEEE Trans, on Automatic Control, Vol. AC-19, June 1974, pp. 252-25

3. Vaughan, D. R., A Nonrecursive Algebraic Solution for the Discrete Riccati Equation, IEEE Trans, on Automatic Control, Vol. AC-15, October 1970, pp. 597-599.

4. Howerton, R. D., A New Solution of the Discrete Algebraic Riccati Equation, IEEE Trans, on Automatic Control, Vol. AC-19, February 1974, pp. 90-92.

5. Lainiotis, D. G., Discrete Riccati Equation Solutions: Partitioned Algorithms, IEEE Trans, on Automatic Control, Vol. АС-20, August 1975, pp. 555-556.

6. MoUnari, B. P., The Stabilizing Solution of the Discrete Algebraic Riccati Equation, IEEE Trans, on Automatic Control, Vol. AC-20, June 1975, pp. 396-399.

7. Molinari, B. P., The Stabilizing Solution of the Algebraic Riccati Equation, SIAM Journal on Control, Vol. 11, May 1973, pp. 262-271.

8. Payne, H. J., and Silverman, L. M., On the Discrete Time Algebraic Riccati Equation, IEEE Trans on Automatic Control, Vol. AC-18, June 1973, pp. 226-234.

9. Caines, P. E., and Mayne, D. Q., On the Discrete-Time Matrix Riccati Equation of Optimal Control, International J. on Control, Vol. 12, November 1970, pp. 785-794.

10. Hewer, G. A., An Iterative Technique for the Computation of the Steady-State Gains For the Discrete Optimal Regulator, IEEE Trans on Automatic Control, Vol. AC-16, August 1971, pp. 382-384.

11. Hewer, G. A., Analysis of a Discrete Matrix Riccati Equation of Linear Control and Kalman Filtering, ,/. Math. Analysis and Applications, Vol. 42, April 1973, pp. 226-236.

12. Cadzow, J. A., Nilpotency Property of the Discrete Regulator, IEEE Trans, on Automatic Control, Vol. AC-13, December 1968, pp. 734-735.



ГЛАВА 72.ЦИФРОВОЙ НАБЛЮДАТЕЛЬ СОСТОЯНИЯ

12.1. ВВЕДЕНИЕ

Значительная часть теории оптимального управления цифровыми системами базируется на использовании обратной связи по переменным состояния. К сожалению, на практике не все переменные состояния доступны для измерения, и, как правило, измеряются только выходные переменные системы. Поэтому, если требуется обратная связь по всем переменным состояния и не все они доступны для измерения, необходимо восстанавливать эти состояния по информации, содержащееся во входных и выходных переменных. Подсистема, которая осуществляет восстановление переменных состояния, основанное на измерениях входных и выходных переменных, называется наблюдателем состояния, или просто наблюдателем. На рис. 12.1 изображена структурная схема цифровой системы управления с наблюдателем состояния. Восстановленный вектор состояния Xg (к) используется для формирования управляющего воздействия и (к) с помощью матрицы обратной связи G. Из рис. 12.1 следует, что управляющее воздействие описьшается соотношением

и(к) = Ег(к) - Gxjk)

(12-1)

Выясним вначале условия, определяющие возможность построения наблюдателя. Следующая теорема показывает, что проектирование цифрового наблюдателя состоянрш тесно связано с критерием наблюдаемости.

Теорема 12.1. Рассмотрим линейную цифровую систему, которая описьшается следующими уравнениями динамики:

х(к + 1) = Ах(к) + Ви(к) (12-2)

с(к) = Dx(k)

(12-3)

где х(к) ,и(к) и с(к) - соответственно п,рк q-мерные векторы. Предполагается, что матрица А является невырожденной. Вектор состояния х(к) может быть определен как линейная комбинация выходной с(к), вход-

Г(Л)

Х(А-г)=Ах(л)->-Ви(л)

С(к)

Хе(К)

Наблюдатель состояния

Рис. 12.1. Линейная цифровая система с наблюдателем и обратной связью по состоянию



ной \i(k) и предшествующих значений этих переменных, если цифровая система полностью наблюдаема.

Доказательство. Уравнение (12-2) может быть записано в виде

х(к-1)= А-1х(к)-А-1Ви(к-1) (к>1) В общем случае

х(к - п) = А-1х(к - п + 1) - А-Ви(к - п)

В соответствии с (12-3) запишем с(к - 1) = Dx(k - 1) (к > 1) Подстановка уравнения (12-4) в (12-6) дает

с(к - 1) = DA-ix(k) - DA-lBu(k - 1) (к > 1)

По аналогии *

с(к - 2) = Dx(k - 2) =

= DA-2x(k) - DA-2Bu(k - 1) - DA-lBu(k - 2) Продолжая эту процедуру, получаем

с(к - N) = DA-Nx(k) - f DA-N-lBu(k - i) i=l

Запишем эти уравнения в матричной форме:

(к > п)

(к> N)

(12-4) (12-5)

(12-6)

(12-7)

(12-8) (12-9)

с(к-

da-1

0 0

с(к-

da-2

da-b

da-b 0

х(к)-

da-b

da-b da-b

с(к-

da-N

da-b

da-N-1 da-N-2

da-b

-1)

(12-10)

Данное матричное уравнение содержит Nq уравнений с п неизвестными компонентами вектора состояния \(к). При Nq > п известных управляющих воздействиях и выходных переменных вектор \(к) может бьггь найден из уравнения (12-10),если матрица

[DA-1 DA-2 ... DA-] (NqXn) (12-11)

имеет ранг п. Очевидно, что ограничение на ранг матрицы (12-11) совпадает с критерием наблюдаемости пары [А, D] для N= п.

При определенных условиях уравнение (12-10) имеет единственное решение относительно вектора состояния х{к). Если Nq = п, матрица (12-11) становится квадратной и, если она невырождена, вектор х(к) может быть определен для к> Nc помощью измерения N предшествующих значений выходной и входной переменных.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 [ 134 ] 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147