Космонавтика  Декомпозиция цифровых систем 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 [ 133 ] 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147

нсвырождена, пара [Ф,0] для любой матрицы DD =Q является наблюдаемой. Таким образом, задача синтеза линейного оптимального цифрового регулятора для системы (11-218) имеет асимптотически устойчивое решение.

Обычно эта задача решается с помощью записи дискретного уравнения Риккати (11-30) или (11-34) и определения из него К (Г) . Тогда оптимальное управление описывается выражением (11-56). Поскольку в рассматриваемом случае период квантования Т не задан, было бы трудно решить уравнение Риккати как рекуррентным методом, так и методом собственных значений и собственных векторов.

Решим задачу с использованием метода, omicaHHoro в этом параграфе. Так как нам потребуются матрицы К(0) и G(0), необходимо вначале решить задачу синтеза оптимального линейного непрерывного регулятора. Уравнение Риккати в этом случае имеет вид (11-175) и при подстановке параметров системы упрощается следующим образом:

k2(0) = Q =

2 -1 -1 2

Отсюда

K(0) = i

\ + уД 1-\/з 1-V3 1+V3

(11-219)

(11-220)

Оптимальный коэффициент усиления обратной связи определяется выражением (11-178), откуда получаем

G(0) = R-IbK(O) = к(0) (11-221)

Чувствительность К (7) первого порядка по отношению к периоду квантования всегда равна нулю. Чувствительность второго порядка дК(Г)/дТ определяется с помощью решения уравнения (11-210) для П, которое принимает вид

(11-222) (11-223)

-2К2(0) -1- 2К(0)П + Q = О Из уравнения (11-222) имеем

1-1-V3 1-V3 1-лД 1+у/З Подстановка П в выражение (11-207) дает

1 + ЗлД 1-V3 1 - 3V3 1 -I- ЗлД

Таким образом, аппроксимация второго порядка для К (7) имеет вид .2 a2j

К(Т)-К(0)-Ь? =

1+2

1 + 2

1 *1-2 48

у/3 , л/ЗТ

(11-224)

(11-225)

(11-226) (11-227)

Решая уравнение Риккати (11-174), можно показать, что точное значение коэффициента Риккати

К(Т) =

d,-d2

(11-228)



2 1 + 12

(11-229) (11-230)

V3 , Узт 2--2 +~8~

Подставляя приближенное выражение для К (Г) (11-225) в соотношение (11-177), получим (последлинных матричных преобразований)

G(T)-i

1 + 2

24 + 12Т + 1 24 + 24Т + ST +

8n/3 -И2Т + УЗТ2 2 8 + 83 Т + 8т + лДт

(11-231)

(11-232)

(11-233)

Другой способ состоит в аппроксимации С(Г) первыми тремя членами ряда (11-212). Из выражения (11-221) следует, что С(0) = К(0). Чувствительность С(Л первого порядка определяется выражением (11-194) :

♦ г

ЭО(Т) 1 ЭТ 2

(11-234)

-2 1 1 -2

Чувствительность G(7) второго порядка определяется из соотношения (11-205):

ЭС(Т) 5

1 + 3V3 1 - 3v

1-ЗчД 1 + Зч/3

(11-235)

Таким образом, аппроксимация С(Г) конечным числом членов ряда дает

2 й2г

G(T)s.G(0) + T5em+ =

i+T-.(l + 3v) 1 + 1+13 (l 3V3) i+J+(l-3V3) l± + T + (l + 3v)

(И 236)

Точное значение матрицы обратной связи определяется с помошью подстановки точного выражения для К(7) (11-228) в соотношение (11-177). В результате получим

G(T) =

gl-gg gi + g2

T,2 .1 + 12

2 1 + 32

1/2 2 t2

(11-237)

(11-238)



g2 =--

l + y/ЗТ

+ ЗТ

,2 1 + Т

- (11-239)

+ т2

Чувствительность к периоду квантования и переоборудование систем управления на базе ЭВМ. Возникновение задачи переоборудования систем управления на базе ЭВМ, рассмотренной в гл. 5, явилось следствием анализа чувствительности коэффициента Риккати и оптимальной матрицы обратной связи по отношению к периоду квантования. В гл. 5 задача пере-оборудованрш на базе ЭВМ решалась с помощью последовательного сравнения в моменты квантования переходных процессов по состоянию в непрерывной и дискретной системах. Метод, рассмотренный в п. 11.5, непосредственно приводит к иному способу решения задачи переоборудования систем управления, основанному на чувствительности к периоду квантования.

С- использованием обозначений, принятых в этой главе, проблема переоборудования систем управления на базе ЭВМ может быть сформулирована следующим образом: имеется непрерывная система (11-1) с оптимальным законом управления

u(t) =-G(0)x(t) (11-240)

который минимизирует критерий качества (11-3) при tf= °°. Оптималь-шя матрица коэффициентов усиления обратной связи описьшается выражением (11 -178), а именно:

G(0)= R-iBK(O) (11-241)

где К(0) - положительно-полуопределенное решение уравнения Риккати (11-175).

Приближенно опишем рассматриваемую систему (11-1) цифровой моделью, в которой управляющее воздействие и (г) формируется устройством выборки и хранения:

u(t) = u(kT) кТ < t < (к + 1)Т (11-242)

Задача состоит в определении оптимального закона управления с обратной связью по состоянию

и(кТ) =-G(T)x(kT) (11-243)

который минимизирует дискретный показатель качества (11-7) npuN=°o.

Сформулируем кратко результаты, приведенные в п. 11.5. Разложим коэффициент обратной связи цифровой системы в ряд Тейлора в окрестности Г=0 и с учетом только первых трех членов получим

С,т,= С,0,.тМШ,§ (П.244)

где g(0) описывается выражением (11-241). Из соотношений (11-194) и (11-205) соответственно находим

= 1g(0)[A-BG(0)] .25



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 [ 133 ] 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147