Подставиввырая&нйя (№192)в (11-189), после упрощения получим

= R-B + r-1bK(0)[A- BR-IbK(O)] (11-194)

В свою очередь, подставив выражения (11-191), (11-192) и (11-194) в (11-190), после упрощения получим следующее соотношение:

[А - K(0)BR-lBK(0)] + [А - BR-iBK(O)] = 0(11-195)

которое известно как уравнение Ляпунова. Поскольку А-br ВК (0) является матрицей коэффициентов замкнутой непрерывной системы с линейным оптимальным регулятором, которая асимптотически устойчива, то отсюда следует, что единственное решение уравнения (11-195) имеет вид

-ЭТ = (11-196)

Поэтому из выражения (11-194) находим

( = R-iBK(0)[A-BR-lBK(0)] (11-197)

0 1 Z,

Уравнение (11-196) также позволяет получить интересный результат, касающийся чувствительности критерия качества по отношению к Т при малых значениях Т. Выражение (11-58) дает оптимальное значение критерия качества для цифрового регулятора с бесконечным интервалом времени. Перепишем его в следующем виде:

J:=x(0)K(T)x(0) (11-198)

Отсюда

ЭТ - 2 > ЭТ (11-199)

т. е. оптимальное значение критерия качества при малых Т нечувствительно к вариации Т.

Для определения чувствительностей второго порядка необходимо вычислить производные второго порядка от G(7), Х(7), Y(7) и Z(7). Эти производдые описываются следующими соотношениями:

Э!ХШ = А + А + I (А)2 [K(0)BR-lBK(0)+

+ I K(0)BR-lBK(0)] а2 + I AK(0)BR-lBK(0)A (11-200)

Э(Л = ЭКт в + I (А)2К(0)в + I AK(0)BR-iBK(0)B + ЭТ ЭТ

+ k(0)BR-1bK(0)AB (11-201)

= I вк(0)ав + i вак(0)в + I BK(0)BR-iBK(0)B ЭТ2 3 6 d (11-202)

Дифференцирование выражений (11-189) и (11-190) по Т дает 2v

3f Gil) д-1 ЭТ2

эУ(Т) az(T) эс(т) aZ(T) эт2 эт эт

(11-203)

= 2 ) + К(0)В + Y(I) j.iB.K(O) (11-204)

Следует напомнить, что все производные вычисляются при Т=0.

Подставим выражения (11-193), (11-197) и (11-202) в (11-203) и после упрощения получим

dG{T) j ig. ЭЩТ) 1 r-1bK(0)[A- BR-1bK(0)]2 (11-205) ЭТ ЭТ

Аналогично можно показать, что ЭК(7)/Э7 является решением уравне-нрш Ляпунова:

[А - K(0)BR-1b] р- + [А - BR-1bK(0)] +

-I- I [А - K(0)BR-1b] [K(0)BR-1bK(0)] [А - BR-IbK(O)] = о

(11-206)

Поскольку третий член последнего уравнения всегда положительно-полуопределенный, решение ЭК(7)/Э7 является единственным и положительно-полуопределенным.

Очевидно, что количество вычислений при определении чувствительностей третьего и более высоких порядков становится чрезмерным, поэтому соответствующие результаты не приводим. Тем более, что аппроксимация второго порядка как правило обеспечивает необходимую точность.

Уравнение (11-206) можно решать с использованием других эквивалентных форм. Предположим, что К(7)/97 имеет следующий вид:

. ЩИ = [А - K(0)BR-lB] 5 lA - BR-iBK(O)] (11-207) .

В этом случае П должно быть единственным положительно-полуопределенным решением уравнения

[А ~ K(0)BR-lB]n + П[А- BR-lBK(O)] -I- K(0)BR-1bK(0) = О

(11-208)

Преобразуем уравнение (11-175) к виду

[А - К(0)ВВ-1в]К(р) + К(0)[А- BR-BK(O)] +

-I-K(0)BR-BK(0)-I-Q = 0 (11-209)

]Вычитание уравнения (11-208) из (11-204) дает

[А - K(0)BR-1b] [К(0) - П] + [К(0) -

- П ] [А - BR-lBK(O)] -I- Q = О (11-210)

Единственное положительно-полуопределенное решение уравненрш (11-210), К(0)-11, позволяет определить ЭК(75/Э7 из уравнения (11-207).

Анахшз чувствительности -матрицы обратной связи по отношеншо к периоду квантования. Наилучшая аппроксимация К (7), получаемая при использовании конечного числа членов (двух) в (11-179), может использоваться в выражении (11-177) для приближенного вычисления оптимальной матрицы обратной связи G(7). При аппроксимации второго порядка G (7) описывается соотношением ~

R-I- е

ЭК(Т)

М + в

К(0)

G(T)

(11-211)

Другой способ состоит в разложении G(7) в ряд Тейлора в окрестности 7=0

G(T)=G(0) + I

(11-212)

где G(0) описывается выражением (11-178), а первая и вторая производные G( 7) - соотношениями (11-197) и (11-205) соответственно.

Пример Ц.6. Предположим, что пропесс второго порядка описывается уравно-пиями состояния

(11-213)

x(t) = Ax(t) -I- Bu(t)

(11-214)

Задача состоит в определении дискрсиюю оитималыюго управления u(f) - u(A:7), к =0. 1. 2, которое минимизирует крн к-рии качества

i = \ j Ixj(t) - XgCt)] 2 -Ь x(t) + x2(t) + n\(t) + .ild)

(11-215)

В соответствии с обозначениями, используемыми в выражении (1 1-3), определим следующие весовые матрицы:

2 -ll [l О

12 0 1

(11-216)

Период квантовании вначале пе задается, так как его влияние на характеристики линейного оитималыюго цифрового регулятора и сос1авляст предмет исследования.

Поскольку процесс (11-213) является управляемым (и стабилизируемым) и пара (л, D] наблюдаема, где DD = О, задача еимтеза линейного непрерывного регулятора, т. е. juiH 7=0, имеет аеимтотически устойчивое решение. Матрица коэффициентов для дискретного процесса ф(71 =с = I, и

е(т)= / 0(X)BdX = о

Поэтому дискретная система

х[(к+ 1)Т] = 0(Т)х(кТ)-Ь е(Т)и(кТ) (11-218)

полностью управляема, и ык как матрица R, описываемая выражением (11-13).

(11-217)