Космонавтика  Декомпозиция цифровых систем 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 [ 131 ] 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147

что совпадает с результатом, полученным рекуррентным методом [см. уравнение (11-123) ]. Подчеркнем еще раз, что замкнутая система при Л = °° будет асимптотически устойчивой.

11.6. ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ по ОТНОШЕНИЮ к ПЕРИОДУ КВАНТОВАНИЯ

Специфические свойства дискретного уравнения Риккати требуют анализа чувствительности системы с оптимальным цифровым регулятором по отношению к периоду квантования Т, если модель системы описьшается уравнениями (11-1) и (11-2). Знание чувствительности по отношению к периоду квантования дает возможность приближенно определить постоянный коэффициент Риккати К для задачи линейного регулятора на бесконечном интервале времени по известному коэффициенту для непрерьшной системы, т. е. при Г = 0. В итоге оказывается возможным приближенно вычислять матрицу коэффициентов усиления обратной связи G оптимального линейного цифрового регулятора через матрицу обратной связи непрерьшного оптимального линейного регулятора. Заметим, что исследование чувствительности к периоду квантования применительно к синтезу оптимального линейного цифрового регулятора позволило решить задачу переоборудования систем управления на базе ЭВМ, описанную в гл. 5. Поэтому в данном параграфе мы вновь вернемся к этой задаче, но с других позиций.

Обратимся к постановке задачи синтеза линейного цифрового регулятора, содержащейся в уравнениях (11-1) - (11-3). В п. 11.2 бьшо показано, что оптимальный цифровой закон управления имеет вид [см. уравнение (11-31)]

и°(к) = -[R + еЩк +Т)е]- [еЩк + \)ф + м]х°(к) =

= - G(k)x°(k) (11-169)

где К (Л) - положительно-полуопределенное решение уравнения Риккати [ см. уравнение (11-34) ]:

Щк) = фЩк -И)0 + Q -

- [ещк+ ш + M][R+ еЩк 4-1)61-1 [еЩк +1)0 + м] (п-ш)

с граничным условием К (/у) = S.

Прибавим и вычтем К{к+\), а затем разделим обе части последнего уравнения на Г и после преобразований получим

К(к + 1)-Щк) 0К(к -ь 1)0 - Щк + 1) + Q . Т Т ~~

М + 0К(к -I- 1)е

fe-h ещк-ь 1)е т

еК(к + 1)0 + м т

(11-171)

Можно показать, что при уменьшении периода квантования до нуля уравнение (11-171) принимает вид

K(t) = АЩ1) + Щ1)А + Q = Щ1)ВН-1ВЩ1)

(11-172)



Это уравнение известно как дифференциальное уравнение Риккати для. непрерывного линейного оптимального регулятора, где К(?) - коэффициент Риккати. Оно соответствует непрерывному управляющему воздействию и(0 в системе (11-1).

Для бесконечного интервала времени tf=°°

К(к) = К(к +1) = К(Т) (11-173)

где для обозначения установившегося значения коэффициента Риккати вместо К используется К (7), чтобы показать зависимость коэффициента от Т. Для бесконечного интервала времени уравнение (11-171) превращается в алгебраическое уравнение Риккати

фК(Т)0 - К(Т) + Q Т

м + 0К(Т)е

R + еК(Т)е

(11-174)

(11-175) (11-176)

При стремлении Г к нулю последнее уравнение принимает вид К(0)А + АК(О) -Ь Q = K(0)BR-iBK(0)

К(0) = lim К(Т)

является также установившимся решением дифференциального уравнения Риккати (11-172).

Из этого следует, что оптимальная матрица обратной связи цифроврго регулятора на бесконечном интервале времени может быть записана следующим образом:

G(T) =

R + еК(Т)е

еК(Т)Ф -ь м

(11-177)

При Т = 0 соответствующая оптимальная матрица обратной связи для непрерывного регулятора имеет вцц

G(0) = lim G(T) = R-BK(O)

Т->0

(11-178)

Анализ чувствительности матрицы коэффициентов Риккати по отношению к периоду квантования. Разложим установившееся решение уравнения Риккати К(7) в ряд Тейлора в окрестности Г=0:

К(Т) = К(0) -t- I

gK ЭК(Т)

(11-179)

(11-180)

определяется как чувствительность К (7) i-го порядка по отношению к периоду квантования. Предполагается, что бесконечный ряд (11-179) сходится на интервале [ О, Т.]. В большинстве практических задач для аппроксимации К (7) допустимо использовать только несколько членов ряда. В



дальнейшем определяются чувствительности К(7) первого и второго порядка. Для упрощения обозначений подразумевается, что все частные производные вычисляются при Т=0.

Для удобства введем следующие обозначения;

X(T) = №i K(TI±A ( .181)

Х(0) = Итп Х(Т) = К(0)А + АК(О) + Q (11-182)

У(Т)М+да)е (11.183)

Y(0) = lim Y(T) = К(0)В (11-184)

ZT)=tm (11-185)

Z(0) = R (11-186)

С учетом этого оптимальный коэффициент усиления обратной связи (11-177) имеет простой вид

G(T)= Z-(T)Y(T) (11-187)

а дискретное уравнение Риккати (11-174) описьшается выражением

Х(Т)= Y(T)Z-(T)Y(T) = Y(T)G(T) (11-188)

Для определения чувствительностей первого порядка выражения (11-187) и (11-188) дифферешдаруются по Г и затем определяются значения производных при Г=0. В результате получим

эта R-1 ЭЩ) ШХ j iB.K(0) (11-189)

эх(Т) dY(T) T,-iR.K/o)

= К(0)В+к BK(0) (11-190)

где 3G(7)/97*- i-я производная от G(7) no T, вычисленная при 7 = 0; она называется чувствительностью G(7) г -го порядка по отношению к периоду квантования.

Частные производные от Х(7), Y(7) и Z(7) по Г можно найти соответственно из выражений (11-181), (11-183) и (11-185) с использованием разложения Ф= е в соотношениях (11-6), (11-11) - (11-13) в бесконечный ряд при отбрасывании членов выше третьего порядка по Т. При этом получаются следующие результаты:

ЩП = А< ffi- + А -ь 1 AK(0)BR-lBK(0) .

-ь-k(0)BR-1bK(0)A (11-191)

= В -ь I [АК(О) + K(0)BR-1bK(0)]B (11-192)

= (11-193)



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 [ 131 ] 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147