Космонавтика  Декомпозиция цифровых систем 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [ 13 ] 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147

Так как p{t) = 1 для О < ? <р, то соотношение (2-37) принимает вид

n/o *=S?Vr- (2-38)

Используя хорошо швесшое тригонометрическое соотношение, запишем р sin(ncjgP/2) -jnp/2 <=n = т (no.p/2) (2-39)

Подставляя соотношение (2-39) в выражение (2-35), имеем в р sin(nojp/2) -jnc.p/2 jnc.t

f P>tJ. nc.p/2 e . . (240)

Подстановка p (0 из (240) в (2-33) дает

f*(t)= I C f(t)e * (241)

где C определяется из соотношения (2-39).

L, Преобразование Фурье сигнала fp*{t) может быть получено в виде

Fp*(ja;)=5?[f*(t)] =j* f*(t)e *dt (242)

вде 7 - операция преобразования Фурье. Используя теорему о смещении преобразования Фурье в области комплексной переменной, которая утверждает, что

7 [e *f(t)] = F(joj - jnoj) (243)

соотношение (2-42) может быть записано как

Е Fp*(joj)= Z C F(joj - jnoj) (244)

Еоотношению (244) можно придать иную форму:

Fp*(ja;)= 5 C F(ja;-I-jnco) (245)

где п изменяется от ~°° до +°°.

Важность рассмотрения операции квантования в частотной области иллюстрируется следующим исследованием соотношения (245).

Определим коэффициент ряда Фурье в соотношении (2-39) при/7 0:

► Со = ИтС = (246)

В соотношении (245) возьмем только член, соответствующий п = 0:

F*(joj) = CoF(joj) = I F(jco) (247)

* n=0 *

Последнее выражение иллюстрирует важное свойство: гармоники, содержащиеся в непрерывном входном сигнале f(t), представлены и в выход-



ном сигнале квантователя / * (t), однако их амплитуды отличаются в

Для пФО коэффициент С является комплексной величиной, но его модуль может быть записан в виде

sin(nco р/2)

Модуль Fp* (/со) равен

IFp*(MI =

(248)

(249)

Частотный спектр последовательности единичных импульсов p{t) представляет, собой зависимость коэффициентов ряда Фурье С в зависимости от со, когда п принимает различные целые значения от -°° до +°°, Амплитудный спектр С показан на рис. 2.34, а. Видно, что амплитудный спектр С не является непрерывной функцией; он представлен равностоящими спектральными линиями при со = исо для = О, ± 1, ± 2,.... Огибающая спектра описывается правой частью соотнощения (2-49).

Это соотнощение можно записать также в форме

IFp*(ja;)l< 5 lC IIF(jco+jna;,)l (2-50)

которая может быть использована для иллюстрации амплитудного спектра Fp* (jco). Предположим, что амплитудный спектр непрерывного входного сигнала имеет форму, как показано на рис. 2.34, б. Тогда на основании соотнощения (2.50) спектр Fp* (/со) будет иметь вид, показанный на рис. 2.34, в. Следует заметить, что \Fp*(fco) содержит не только основную составляющую F(/co), но и транспонированные составляющие F(jco + jncog), =±1, ±2,....

Для получения п-тл транспонированной составляющей выходного спектра необходимо умножить F(/co) на соответствующий коэффициент ряда Фурье С и сдвинуть его на со, = ± 1, ± 2, ± 3,.... Следовательно, квантователь можно представить как генератор гармоник, выход которого содержит основную составляющую и все транспонированные составляющие с соответствующими весовыми коэффициентами, отстоящие друг от друга на частоту квантования. Основная полоса частот передает всю информацию, содержащуюся в непрерывном входном сигнале. Эта же информация повторяется в боковых полосах частот, причем амплитудный спектр каждой боковой полосы определяется весовым коэффициентом - модулем соответствующего коэффицента ряда Фурье С . Частотный спектр для Fp* (/со) , показанный на рис. 2.34, в, получен при условии, что частота квантователя со превыщает более чем в 2 раза высщую частотную составляющую сигнала f{t), т.е. со > 2сОс. Если со < 2сос, то частотный спектр Fp* (/со) I будет искажаться вследствие наложения гармоник.

На рис. 2.34, г показано, что если со < 2сОс, спектр \F (jco) в основной полосе частот мало похож на спектр исходного сигнала. Следовательно, теоретически исходный сигнал может быть восстановлен с помощью



2ж Р. /

Р -тг Р

-6ш,

и). 2(0с

\FU)\

II I 1 I Ь)

/ I I \

Юс (Ос 6)

\Fp(/ui)\

-бы.

6)

-SCO,

-2bJs

2%

Рис. 2.34. Амплитудные спектры входных и выходных сигналов для квантователя с конечной шириной импульсов:

о - спектр последовательности единичных импульсов р (Г); б - спектр непрерывного входного сигнала ; в - спектр выходного сигнала квантователя (ojj > > 2tJc) ; г - спектр выходного сигнала квантователя (toj < 2tj(.)

идеального полосового фильтра из спектра, показанного на рис. 2.34, в, тогда как восстановление исходного сигнала из спектра, показанного на рис. 2.34, г, невозможно из-за наложения транспонированных составляющих.

Явление перекрытия высокочастотных составляющих основной составляющей частотного спектра квантованного сигнала иногда называют наложением.

Требование, чтобы частота со была по крайней мере в 2 раза больше высшей частотной составляющей сигнала /(0> известно под названием импульсной теоремы, которая в общем виде представлена в п. 2.8. Частоту Ws/2 иногда называют граничной. В действительности большинство сигналов в системах управления не могут быть представлены в виде ограниченного спектра, как показано на рис. 2.34, б, поэтому эффект наложения



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [ 13 ] 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147