Рассмотрим матрицу коэффициентов усиления обратной связи линейного оптимального цифрового регулятора

G(i) = [Е + eK(i + [м + eK(i + i)*] (imo4)

Запишем оптимальное управление (11-103) в виде

u°(i) =-G(i)x°(i) (11-105) Аналогично упростим уравнение Риккати (11-102)

K(i) = + фКЦ + 1)ф - [М + eK(i + l)0]G(i) (11-106)

Уравнения (11-104) и (11-106) рекуррентно решаются в обратном направлении, начиная с граничного условия K(/V) = S.

В качестве альтернативы можно использовать уравнение Риккати вида (11-30). С учетом

Н(к -I-1).= Щк -I-1)[1+ ей-еЩк + 1)]-1 (11-107)

уравнение (11-30) можно записать в виде

Щк) = 1ф - MR-l0)H(k + 1)(ф - еЙ-М) + Q - МЕ-М (11-108)

Как и ранее, эти два уравнения можно рекуррентно решать в обратном направлении, начиная с граничного условия K{N) = S.

Уравнения (11-107) и (11-108) обладают тем положительным свойством, что член K(fc+1) содержится только в выражении для Н(А;+1). Однако преимущество рекуррентного метода, основанного на использовании уравнений (11-104) и (11-106), состоит в том, что матрица обратной связи определяется непосредственно из уравнения (11-104).

Пример 11.2. Предположим, что цифровой процесс первого порядка описывается уравнением

х(к + 1) = х(к) + и(к) (11-109)

причем л:(0) =Xq. Цель синтеза состоит в определении такого оптимального управления и {к}, к =0,1, 2,9, которое минимизирует следующий критерий качества:

= i [10x2(10)] -f i [x2(k) + Am (11-110)

в рассматриваемой задаче 5=10, 6=1,=1,М = ОиФ=0 = 1. Уравнение Риккати получается при подстановке этих параметров в соотношение (11-106) ;

K(i) = l-f K(i-f l)-K(i-f l)G(i) (11-111)

ад = гтШ\) (11-112) Оптимальное управление имеет вид

u°(i) = -G(i)x°(i) (11-113)

Уравнения (11-111) и (11-112) решаются рекуррентно, начиная с граничного условия К(10) =S =10. Результаты представлены в табл. 11.1.

Таблица 11.1

Подставляя оптимальное управление в уравнение (11-104), можно показать, что оптимальная траектория х (к) описьшается соотношением

х°(к)= n\l-G(i)]Xo (11-114)

при к = О, 1, 10. Для любого значения Xq отличного от нуля, х° (к) быстро сходится к нулю при возрастании к.

Пример 11.3. Цифровой процесс второго порядка описьшается уравнением состояния

х(к-(-1) = фх(к) + еи(к) (11-115)

п 1 Т Гп

(11-116)

Для заданного х(0) = [ 1 1 ] найти оптимальное управление м (А:), Л = О, 1, 2, 7, которое минимизирует критерий качества

В этой задачеЛ/ = 0, Л = 2

(11-117)

(11-118)

При подстановке этих параметров в соотношение (11-106) получим уравнение Риккати

г Гл il г п i l Го)

(11-119)

(11-120)

K(i) =

Отимальное управление имеет вид u°(i) = -G(i)x°(i)

где на основании выражения (11-104)

G(i) =

2+[О 1]К(1-Ц)

[О 1]К(1-Ц)

о -1

Начиная с граничного условия

О о О oj

рекуррентное решение уравнений (11-119) и (11-121) дает:

К(8) = S =

К(7) = К(6) = К(5) = К(4) = К(3) = К(2) = К(1) = К(0) =

О(7)=[0 0] 0(6)= [О 0] 0(5) = [-0,5 0,5] 0(4) = [-0,6 0,4] 0(3) = [-0,615 0,462] 0(2) = [-0,651 0,481] 0(1)= [-0.652 0,485] 0(0) = [-0.6538 0,486]

Оптимальное управление и оптимальные траектории вычисляются путем подстановки коэффициентов усиления обратной связи в уравнения (11-120) и (11-115). Результаты представлены в табл. 11.2.

Для больших значений N можно показать, что коэффициент Риккати стремится к установившемуся значению

3,308 -0,972 -0.972 3,780

а постоянная матрица коэффициентов усиления обратной связи имеет вид О = [-0,654 0,486]

При = 8 решения рассматриваемой задачи управления на конечном интервале времени уже достигли этих значений. Однако в общем случае с помошью рекуррентного метода даже при использовании достаточно больших значений можно только приближаться к установившимся решениям. В рассматриваемом случае, поскольку пара