Космонавтика  Декомпозиция цифровых систем 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 [ 118 ] 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147


Рис. 9.65. Переходные процессы систем, изображенных на рис. 9.63 и 9.64:

1 - динамический регулятор; 2 - обратная связь по состоянию

Теперь сравним характеристики и показатели качества двух систем,изображенных на рис. 9.63 и 9.64. Характеристическое уравнение системы с обратной связью по сотоянию имеет вид

zI-A+BG = z2-z+ 0,5 = 0 (9-425)

Это уравнение имеет корни z = 0,5 -i- /0,5 и z = 0,5 - /0,5, что и требовалось. Характеристическое уравнение системы с динамическим регулятором в цепи обратной связи по выходу имеет вид

z - l,05418z2 0,554143Z - 0,027034 = 0. (9-426)

Корни последнего уравнения равны; z = 0,0541,z = 0,5 +/0,5 и 0,5 - /0,5.Таким образом, хотя применение вместо обратной связи по состоянию динамического регулятора повышает порядок системы до третьего, доминирующие корни характеристического уравнения занимают требуемое положение, т. е. z = 0,5 ±/0,5. Корень z = = 0,0541, расположенный на z-плоскости очень близко к началу координат, не повлияет сущестренно на динамику системы.

Будем считать, что начальное состояние характеризуется значениями (0) =1 илгг (0) = 0. Из рис. 9.63 имеем

0,264z2-0,448z

,2 .,о5 (9427)

Переходный процесс для с(Л) изображен на рис. 9.65. На основании рис. 9.64 z-преобразование выходной переменной системы с динамическим регулятором при тех же начальных условиях получается в виде

0,264z - 0,496444z2 - 0,000248z

C(z) = -----~-(0). (9-428)

- l,05418z + 0,554143z - 0,027034

Переходный процесс для с (к), соответствующий последнему уравнению, изображен на рис. 9.65. Сравнивая два переходных процесса, видим, что система с динамическим регулятором дает большее перерегулирование, но обе кривые вообще расположены очень близко друг к другу.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Davison, Е. J., On Pole Assignment in Linear Systems with Incomplete State Feedback, IEEE Trans, on Automatic Control, Vol. AC-15, June 1970, pp. 348-351.

2. Wonham, W. M., On Pole Assignment in Multi-Input Controllable Linear Systems, IEEE Trans, on Automatic Control, Vol. AC-12, December 1976, pp. 660-665.

3. Smith, H. W. and Davison, E. J., Design of Industrial Regulations, Proc. lEE (London), Vol. 119, No. 8, August 1972, pp. 1210-1216.

4. Whitbeck, R. F. and Hofmann,L. G., Digita] Control Law Synthesis in the wDomain, Journal of Guidance and Control, Vol. 1, No. 5, September-October 1978, pp. 319-326.



ГЛАВА 10. СИНТЕЗ С ПОМОЩЬЮ ПРИНЦИПА МАКСИМУМА

10.1. ДИСКРЕТНОЕ УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА-ЛАГРАНЖА

При проектировании большого класса оптимальных систем управления tTaBHTCH цель обеспечить минимум или максимум критерия качества, который задается в виде

J = Y FWk),x(k + l),u{k),k] (10.1)

где F[ х(к),х(к + 1), и(к) , к] - дифференцируемая скалярная функция.

Отыскание максимума или минимума критерия качества/ производится при наличии ограничения в вцце равенства

х(к + 1) = f[x(k),u(k),k] (10-2)

которое является уравнением состояния системы, наряду с другими ограничениями в вцце равенств и неравенств. В уравнении (10-2) вектор х{к) имеет размерность п, а вектор и(к) - размерность р.

Большинство методов проектирования оптимальных систем основано на вариационном исчислении. Согласно принципу вариации задача нахождения минимума функции при наличии ограничений в виде равенств решается путем добавления ограничения на эту функцию.

Определим вектор \(к + 1) размерностью и X 1 как множитель Лагранжа. Критерий качества / (10-1) преобразуется к расширенному критерию

= Y F[x(k),x(k + lj,u(k),k] -1- <Х(к + 1),[х(к -(- 1) - f(x,u,k)]>

(10-3)

где символ < > обозначает скалярное произведение векторов.

В теории вариационного исчисления доказывается, что нахождение минимума или максимума функционала / при условии (10-2) эквивалентно отысканию минимума или максимума функционала Jc без ограничений. Пусть X(А:) , X(А: + 1) , u(A:) ик(к+ 1) имеют различные вариации: х(к) = х°(к) + е7?(к) (104)

х(к-И) = х°(к-(- 1) + е7?(к + 1) (10-5)

и(к) = и°(к) -I- 6/i(k) (10-6)

Х(к+ 1)= Х°(к+1)+7w(k-(-1) (10-7)

где х° (к) ,\ (к+ 1) , и° (к) и Х° (/с + 1) - векторы, соответствующие оптимальным траекториям; п(1<) ,М() и со (к) - произвольные векторные переменные.



(10-8) (10-9)

Подстановка соотношений (10-4)-(10-7) в выражение (10-3) дает

J = ¥[к(к) + e7j(k), х°(к +1)+ е7?(к -I- 1), и°(к) -I- 5,i(k), к] +

+ <Х°(к 4- 1-) + 7со(к + 1), к°(к + 1) 4- evik + 1)-

- Пх°Гк) + evik), u°(k) + Ьц{к), к] > Упростив запись, выразим Jc в виде

Раскладывая Fg в ряд Тейлора в окрестности точки х° (к) ,х {к + 1) Х° (Л 4- 1) , и° (к) , получим

F Гх(к), х(к + 1), Х(к + 1), и(к), к] =

эЕ:(к)

= FJx°(k), х°(к 4- 1), Х(к 4- 1), и°(к), к] + <e7?(k), > +

3F°(k) ЭБ;(к)

<( + Щт) > ах(кТТ) > +

(10-10)

эР!(к)

> +

члены высшего порядка.

Г;(к) = FJx°(k), х°(к + 1), Х°(к + 1). и°(к), к] (10-11)

Чтобы критерий Jc имел минимум, необходимо выполнить следующие □вия:

условия:

е=6=7=0

е=Л=7=0

(10-12) (10-13)

(10-14)

е=(.=7=0

Подставляя разложшие в ряд Тейлора для F. в выражение (10-9) и учитывая необходимые условия существования минимума Jc [см.уравнения (10-12) (10-14) ], получаем

N-1 N-1

ЭР°(к) < ()#(k-j

эр;(к)

1 <с.(кн-1),--.--

к) > + +Т) >

эр;(к)

> = о

N-1 ЭГ:(к)

Х,<.Э#(к)> = °

(10-15) (10-16) (10-17)



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 [ 118 ] 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147