Космонавтика  Декомпозиция цифровых систем 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 [ 114 ] 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147

руется система, предназначенная для отслеживания определенного входного сигнала, то обратная связь по состоянию и по выходу должна быть организована несколько иначе. Поскольку обратная связь по состоянию и по выходу не повышает порядок системы, то в обш.ем случае нет гарантии, что выходные переменные или переменные состояния системы в установившемся режиме будут отслеживать входной сигнал.

В соответствии с традиционным методом синтеза, в промышленности широко применяется ПИД-регулятор, обеспечивающий требуемое поведение управляемого процесса в переходном и установившемся режимах. Синтез системы управления с цифровым ПИД-регулятором был рассмотрен в 9.7. Поскольку ПИД-регулятор всегда повышает порядок системы (в предположении, что не происходит компенсации имеющихся полюсов и нулей), а обратная связь по состоянию или по выходу через постоянные коэффициенты не изменяет его, то и результаты управления в этих случаях будут неэквивалентны. Можно сказать, что с помощью обратной связи по состоянию или по выходу через постоянные коэффициенты нельзя достигнуть той же цели управления, что и с помощью ПИД-регулятора или какого-либо иного динамического регулятора.

В этом параграфе рассматривается метод синтеза, сочетающий обратную связь по переменным состояния и обратную связь по выходу, осуществляемую с помощью динамического регулятора. В частности, регулятор может вьшолнять операцию интегрирования в цифровой форме.

Рассмотрим цифровую систему управления, описываемую следующими уравнениями динамики:

х(к + 1) = Ах(к) -I- Ви(к) + Fw (9-363)

с(к) = Dx(k)ч- Еи(к) -I- Hw (9-364)

гдех(Д:) - и-мерныйвектор (состояние); и(к) - г-мерныйвектор (вход); с(к) - р-мерный вектор (выход); w - 9-мерный вектор (возмущение). Размерность матриц А, В, D, Е, F и Н определяется количеством соответствующих переменных. Вектор возмущения w предполагается постоянным. В качестве компонентов вектора w могут фигурировать также входные воздействия, в соответствии с которыми должно меняться состояние системы или ее выход. Компоненты вектора w, играющие роль возмущений, в общем случае неизвестны, хотя их значения предполагаются постоянными.

Цель синтеза цифровой системы управления, описываемой уравнениями (9-363) и (9-364), можно сформулировать следующим образом: найти такое управление и(Д:), чтобы

limx(k-(- 1) = limx(k) (9-365)

jimc(k)=0

Условие (9-365) эквивалентно требованию асимптотической устойчивости системы, а условие (9-366) предполагает стабилизацию выходных переменных системы. Вектор выхода с(к) не обязательно должен включать в себя только выходные переменные системы. В действительности, констру-



ируя надлежащим образом вектор с (/с) , можно сформулировать большое количество задач стабилизации и слежения.

Образуем векторы приращения состояния и управления

у(к) =

х(к + 1) - х(к) с(к)

(п + р) X 1

v(k) = u(k + 1) - u(k)

Тогда в соответствии с (9-367)

у(к+ 1) =

х(к+ 2)-х(к4- 1) с(к + 1)

Из уравне1шй (9-363) и (9-364) имеем

х(к-(- 2) = Ах(к 4- 1)-(-Ви(к 4- 1)-1- Fw

с(к + 1) = Dx(k +1)4- Eu(k 4- 1) + Hw

Сформируем вектор разности между у(/с + 1) и у (/с) :

(9-367) (9-368)

(9-369)

(9-370) (9-371)

у(к4-1)-у(к) =

А[х(к4-1) - х(к)] 4- В[и(к4-1) - и(к)] - [х(к4-1) - х(к)] D[x(k4-l)-x(k)] 4- E[u(k4-l)-u(k)]

A~l 0

y(k) +

D 0

v(k)

где I - единичная матрица размерностью и X п.

Преобразуя уравнение (9-372) , запишем его в виде

(9-372)

А 0

у(к 4- 1) =

У(к)4-

v(k)

(9-373)

Таким образом, цель синтеза, определяемая условиями (9-365) и (9-366), эквивалентна переводу системы с уравнением (9-373) из любого начального состояния у(0) в состояние у (к) 0 при Л

Условия управляемости. Для достижения сформулированной вьппе цели управления прежде всего необходимо исследовать управляемость системы, описываемой уравнением (9-373) .

Обозначим

Тогда запишем уравнение (9- 373) в виде

у(к 4- 1) = Ау(к) + Bvk) (9-374)

Чтобы пара матриц [ А, В] бьша полностью управляемой, необходимо

и достаточно обеспечить матрице

[XI - А : В]



размерностью {п + р) X {п + р + г) ранг (и + р) при значениях Л, равных каждому из собственных значений матрицы А. Итак,

[XI-А:В] =

Х1 -А

-D (Х-1)1 Е

(9-375)

где 1т - единичная матрица размерностью тХ т.Ш последнего уравнения следует, что А имеет, по крайней мере,р собственных значений X = 1. Если X = 1, то (9-375) принимает вид

[XI- А = В] =

I - А О В

(9-376)

-D О Е

Если X 1, то ранг (Х - 1) 1ш равен р, и, чтобы матрица [Х1 - А : В] имела ранг й + р, матрица [ XI - А : В] должна иметь ранг п, в предположении, что пара [ А, В] управляема. Таким образом, пара матриц [ А, В] будет управляемой, если:

1) управляема пара [ А, В] и

2) матрица

А-1 В D Е

имеет ранг п + р.

(9-377)

В результате условие управляемости системы в приращениях (9-374) выражено через матрицы коэффициентов исходной системы.

Теперь предположим, что вектор управления \{к) образуется с помощью обратной связи по состоянию, т. е.

v(k) = -Gy(k) (9-378)

где G - матрица обратной связи размерностью г X (п + р), элементы которой представляют собой постоянные коэффициенты.

Учитывая выражения для v(k) иу(к) , запишем (9-378) в виде

v(k) = u(k -f 1) - u(k) = -G, [x(k + 1) - x(k)] - G2c(k) (9-379)

где матрица Gj имеет размерность г X , а матрица Gj - размерность гХр.

Вычисляя z-преобразование от обеих частей уравнения (9-379) , после упрощений получим

U(z)=-GiX(z)-33G2C(z)

(9-380)

Смысл последнего уравнения состоит в том, что управление и{к) получается в виде комбинации обратной связи по состоянию через постоянные коэффициенты и динамической обратной связи по выходу. Передаточную функцию 1/ (z - 1) можно рассматривать как цифровую аппроксимацию операции интегрирования. На рис. 9.57 изображена структурная схема замкнутой системы.

Пример 9.18. Рассмотрим цифровую систему управления

х(к + 1) = Ах(к) + Ви(к) + W2

(9-381)



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 [ 114 ] 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147