Космонавтика  Декомпозиция цифровых систем 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 [ 113 ] 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147

re В, большем ранга матривд Д уже нельзя произвольно выбирать все элементы матрищ.1 w, если требуется получить максимальное число задаг-ньЕХ собственных значений замкнутой системы. При синтезе систем с обратной связью по состоянию такой проблемы не возникает, так как ранг D (D - единичная матрица размерностью и) всегда равен п, а ранг В не может быть больше п. Следуюший пример иллюстрирует синтез обратной связи по выходу и упомянутые выше ограничения.

Пример 9.16. Дана цифровая система управления, описьшаемая следующими уравнениями динамики:

Х[(к + 1)Т] = Ах(кТ) 4- Ви(кТ) с(кТ) = Dx(kT)

(9-336) (9-337)

Требуется определить матрицу коэффициентов G таким образом, чтобы с помощью обратной связи по выходу

и(кТ) = -Ос(кТ) (9-338)

можно было получить заданные собственные значения матрицы A-BGD. Так как ранг D равен 2, и ранг В также равен 2, то произвольно могут быть заданы максимум два собственных значения. Пусть эти собственные значения таковы: Zj = 0,1 HZ2=0,2.

Характеристическое уравнение для матрицы А tzI-AI = z?-H

Тогда

(9-339)

(9-340)

В соответствии с выражением (9-331)

в* =

(9-341)

Поскольку ранг матрицы В равен 2, то В* имеет два независимых параметра и 2. Матрица управляемости для пары [А, В*]

S = [В* АВ* АВ*] =

Матрица S невырождена, если w\ ~ w\ Фо.

Пусть G* = [g* g]

(9-342)

(9-343)



Тогда

G*D =

(9-344)

Поскольку ранг D равен 2, то матрица G*D имеет два независимых параметра g* и g2- Воспользовавшись формулой (9-329), где G заменено на G*, запишем

G*D= [(MS)-(a-a)]

-wlcg + CgWj - WjW2(ai - 1) a3wf-WjW2a2 + w(aj-l)

(9-345)

(9-346)

-wWgag + Cgwl - wf(a - 1) = 0

Последняя строка в (9-346) дает ограничение в виде уравнения

(9-347)

Поскольку только два из трех собственных значений или аналогично два из трех коэффициентов характеристического уравнения замкнутой системы могут быть заданы произвольно, то, хотя wi и W2 могут быть любыми (при условии W} Фw2), они должны быть выбраны так, чтобы третье собственное значение соответствовало устойчивой системе. Это требование устойчивости накладывает дополнительные ограничения на выбор Wi и wj. Например, необходимым условием устойчивости замкнутой системы является неравенство 0!i < 1. Из (9-347) следует также, что м>2 не может равняться нулю.

Чтобы Z = 0,1 и Z = 0,2 были корнями характеристического уравнения 3

+ CgZ + a2Z + = О должны удовлетворяться следующие два уравнения: 2 + 0,3аз + 0,07 = О

- О.огад - 0,006 = О Решая последние два уравнения совместно с уравнением (9-347), находим 0,02w + 0,0004w + 0,006wjW2

0,3w + WjW2 + 0,02wf

-6,2996w2 - 0,07wjW2 3w2 + WjWg + 0,C 0,994w - 0,07w

0,3w2 + WjWg + 0,02w

. i

0,3w + WjW2 + 0,02w2

(9-348)

(9-349) (9-350)

(9-351)

(9-352) (9-353)

Полагая Wi = 0 и = 1, получим 0!i = 0,001333; ttj =0; 0!з = - 0,23333. При таких коэффициентах уравнение (9-348) дает следующие три корня: zj = 0,1; Zj = 0,2; zs - - 0,06667. Таким образом, при выборе Wi и третий корень, который не может быть задан произвольно, оказьшается равным - 0,06667, и замкнутая система устойчива. Разумеется, существуют и другие комбинации Wi и W2, соответствующие устойчивой системе с корнями z = 0,1 и z = 0,2.

Подставляя значения wi=0kW2 = 1, л также найденные aj, 2 и 0:3 в выражении (9-346), получим

(9-354)

g? + gl

-0,23333

-a-fl

0,99866



Запишем матрицу обратной связи G* в виде

G* = [-1.232 0.99866] (9-355) Матрица обратной связи

Го1 Го О .

G = wG*= G*= (9-356)

1 -1,232 0,99866j (

Пример 9.17. Рассмотрим систему из примера 9.16, за исключением того, что

1 О о

1 О oJ (9-3 )

т. е. ранг этой матрицы равен 1. Это означает, что матрица

G*D = [ gf + g О О ] (9-358) имеет только один независимый параметр g* + gj- В этом случае выражение (9-346) выглядит так:

о* -L о*

gl + g2

wf-w

-wa3 4- pgwf - wWgCOj - 1) agwf - WjW2a2 + w{ai - 1) -WjWgOg + a2w - Wj(aj - 1)

(9-359)

Так как две последние строки выражения <9-359) должны равняться нулю, то можно выбрать произвольно либо wi, либо W2, но не оба сразу. Тогда

UgWj - WjWgOg + w(aj - 1) = о -wWgug -I- Ogwl - Wj(aj -.1) = 0

(9-360) (9-361)

Чтобы замкнутая система имела два собственных значения zj = 0,1 и ~ 0,2, должны удовлетворяться также уравнения (9-349) и (9-350). Эти два уравнения вместе с (9-360) и (9-361) образуют систему из четырех уравнений с пятью неизвестными 0!i, 0!2, Кз, Wl и W2. Поэтому ТОЛЬКО одна из этих неизвестных может быть задана произвольно. К сожалению, Wi и W2 нелинейно входят в уравнения, что обусловливает сложность их решения. В данном случае проще использовать метод грубой силы , записав

Izl - а -I- BGDI = 4- (ggi + g22)z + (Вц + 612) + 1 = 0

(9-362)

Следовательно, ясно, что только два из трех коэффициентов последнего уравнения могут быть заданы произвольно. Поскольку свободный член в уравнении равен 1, то при данной матрице D систему нельзя сделать устойчивой, используя обратную связь по выходу.

9.12. СИНТЕЗ ЦИФРОВЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ ПО СОСТОЯНИЮ

И ДИНАМИЧЕСКОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ ПО ВЫХОДУ

Рассмотренные выше методы синтеза с использованием обратной J связи по состоянию и обратной связи по выходу применяются при проектировании цифровых систем стабилизации. Соответствующим выбором собственных значений замкнутой системы можно обеспечить заданный характер свободного движения переменных состояния. Если же проекти-



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 [ 113 ] 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147