Космонавтика  Декомпозиция цифровых систем 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 [ 112 ] 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147

Сначала предположим, что обратная связь осуществляется только по переменной Xi (кТ), т. е. gi = 0. Характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид

Izl - А + BGI = z2 + (gj + 2)z + (1 + 3g i) = 0. (9-317)

Поскольку мы имеем только один параметр gi, то два собственных значения замкнутой системы не могут быть заданы произвольно. Разделив обе части уравнения (9-317) на члены, не содержащие gi, получим

gl(z-H3)

Т-= О (9-318)

4- 2z -И

Траектории корней уравнения (9-317), построенные на основании расположения полюсов и нулей функщш (Z -н 3)/ (z -н 2z -н 1) , изображены на рис. 9.56,с. Заметам, что при положительных значениях gj оба корня находятся вне единичной окружности, а при отрицательных один корень всегда остается слева от точки - 1 на z-плоскости. Следовательно, если обратная связь осуществляется только по переменной {кГ), то замкнутая система при любых значениях будет неустойчива.

Теперь рассмотрим случай, когда обратная связь осуществляется только по переменной Х2 (ЙГ), т. е.

G=[0 gg] (9-319)

Характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид

Izl - А 4- BGI = z2 -1- (gg + 2)z -f (1 - gg) = О (9-320)

Траектории корней последнего уравнения построены с помощью соотношения

1-f-r-= 0 (9-321)

z -f 2z -fl

и изображены на рис. 9.56,6. В зтом случае при отрицательных значениях g2 оба корня уравнения (9-320) находятся вне единичной окружности, а при положительных один корень всегда остается слева от точки - 1 на z-плоскости. Таким образом, при единственном входном (управляющем) воздействии с помощью неполной обратной связи по состоянию не только невозможно реализовать заданные собственные значения замкнутой системы, но и нельзя обеспечивать ее устойчивость. Изменим структуру системы, взяв матрицу В в виде

1 О О 1

В этом случае матрица обратной связи 4l Ч2

Z-плоскость



Рис. 9.56. Корневые годографы системы



Тогда

Izl - А + BGI = z2 + (2 + g + g22)z + gj(2 + g) + (1 - ggl + g) = 0

(9-322)

Если отсутствует обратная связь по Xi ikT), то = ёгг = О и уравнение (9-322) принимает вид

z + (2 + g22)z + (1 - gig) = О (9-323)

Так как в этом уравнении имеются два независимых параметра и g22, то два собственных значения матрицы A-BG можно задать произвольным образом. Аналогично при gii~g22=G имеем

z2-(2 + gll)z-г2gll + l + g2l=0 (9-324)

Опять-таки, собственные значения можно задать произвольно выбором коэффициентов gn и g2i-

Обратная связь по выходу. Поскольку выходные сигналы системы всегда доступны измерению, их можно через постоянные коэффициенты завести обратно на вход и использовать для целей управления. Таким образом, обратную связь по выходу можно считать альтернативой неполной обратной связи по состоянию.

Рассмотрим систему

х[(к -1- 1)Т] = Ах(кТ) + Ви(кТ) (9-325)

с(кТ) = Dx(kT) (9-326)

где х(кТ), и(кТ) и с(кТ) - векторы размерностью п, г ирсоответственно. Обратная связь по выходу определяется как

и(кТ) = -Gc(kT) (9-327)

где G - матрица обратной связи по выходу размерностью гХр. Целью синтеза является определение такой матрицы G, при которой будут получены желаемые собственные значения замкнутой системы. Однако, поскольку в общем случае р<г < л, не все и собственных значений могут быть заданы произвольно. Покажем, что число собственных значений, которые могут быть заданы произвольно, зависит от рангов матриц Ои В.

При синтезе системы с обратной связью по выходу можно воспользоваться тем же методом, что и в случае обратной связи по состоянию. Рассмотрим сначала случай единственного входного воздействия. Подставляя выражение (9-326) в (9-327), а затем в (9-325), получим

х[(к + 1)Т] = (А - BGD)x(kT) (9.328)

Последнее уравнение эквивалентно уравнению замкнутой системы с обратной связью по состоянию, в котором роль матрицы обратной связи играет произведение GD. Поэтому, если пара матриц [А, В] является полностью управляемой, решение для GD можно сразу получить, используя соотношение (9-244) или (9-254):

GD= [(MS)-i(a-a)] (9-329)

GD=-[Aoi - AonlK- . (9.-330)



Однако в общем случае матрицы D и DK не являются квадратными, поэтому выразить G непосредственно из двух последних уравнений не представляется возможным.

При единственном входном воздействии G имеет размерность IXр, D-рХк, аВ-иХ1, позтому GD всегда представляет собой матрицу-строку размерностью 1X п. Матрица D содержит р элементов, но только т из них соответствуют независимым параметрам, которые могут быть использованы для синтеза (здесь т - ранг матрицы G, причем m < р). Например, если

10 0

0 12 ООО

то ранг этой ТМатрицы равен 2. Если при этом G = [g ggs ], то

GD=tgi gg Sgg]

т. е. матрица GD имеет только два независимых параметра. Это означает, что с помощью обратной связи по выходу могут быть произвольно заданы лищь два из трех собственных значений системы. В случае единственного входного воздействия, если ранг матрицы D равен п, т. е. порядку системы, обратная связь по выходу дает тот же результат, что и полная обратная связь по состоянию, а именно, если пара [А, В] управляема, то все собственные значения могут быть заданы произвольным образом.

Для систем с несколькими входами В имеет размерность пХг, тогда образуется матрица

B* = Bw (9-331)

где W имеет размерность гХ 1 и содержит г параметров, а значит. В* имеет размерность иХ 1. Аналогично

G = wG* (9-332)

G*= [g* g* ... g*] (IXn) (9-333) Тогда

BGD = BwG*D = B*G*D (9-334)

и характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид

Izl-А+BGDI= Izl-А+B*G*D= О (9-335)

Матрицу G*D можно определить, используя соотношение (9-244) или (9-254).

В отличие от случая с единственным входным воздействием, решение для коэффициентов обратной связи по выходу теперь зависит от рангов матриц D и В. В общем случае, если ранг матрицы D больше ранга матрицы В или равен ему, элементы матрицы w могут быть выбраны произвольно, разумеется, при условии управляемости пары [А, В]. Однако при ран-



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 [ 112 ] 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147