Космонавтика  Декомпозиция цифровых систем 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 [ 110 ] 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147

Подстановка параметров двигателя в матрицы А и В дает:

О -267,19

(9-260)

(9-261)

244,68

(9-262)

Введем обратную связь по состоянию, реализовав ее с помощью датчиков углового перемещения в и скорости u). Управление осуществляется через квантователь и фиксатор, т. е.

u(kT) = -Gx(kT) (9-263)

(9-264)

а период квантования 7=0,005 с.

Задачей синтеза является определение gj и g2 таким образом, чтобы замкнутая цифровая сийгема управления имела собственные значения = = 0. Вазкно подчеркнуть, что собственные значения замкнутой цифровой системы являются собственными значениями матрицы Ф(Г) -О (7)G, где

(9-265) (9-266)

Т) = е* е(Т)= J 0(X)BdX

Переходная матрица состояния Ф(Т) для 7 =0,005 с вьгражается через матрицу А вида (9-261), т. е.

0(T)=-l[(sI-A)-l]

t=T=0,005

e(T)=-[(si-A)-° -

t=T=0,005

0,00276 0,263

0,00205 0.675

(9-267)

(9-268)

Теперь, когда управляемый процесс дискретизирован, запишем уравнения состояния в разностной форме

х[{к+ 1)Т] = 0(Т)х(кТ) + е(Т)и(кТ) (9-269)

где Ф(7) и 0(7) заданы выражениями (9-267) и (9-268) соответственно. Обратная Связь по состоянию огшсывается уравнением

и(кТ) = -Gx(kT)


- -о

(9-270)

Рис. 9.55. Диаграмма состояния двигателя постоянного тока, соответствующая структурной схеме (см. рис. 9.54)



Характеристическое уравнение разомкЕтутой системы, или матрицы ф (7), Z - 1 -0,00276 О Z - 0,263

Ao(z)=zl-0(T) =

= 7?- l,263z + 0,263 = О

(9-271)

Так как пара матриц [ф(7), ©(Г) ] полностыо управляема, то с помощью обратной связи по состоянию собствшные значения матрицы ©(Г) - ©(7)G можно задать произвольным образом. Пусть желаемое характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид

Ae(z) = z2 = o

В соответствии с уравнением (9-230) запишем

0,00205z -t- 0,00132

0,675(z-i)

k(z) = Adj[zI-<!)(T)] -©(Т) =

(9-272) (9-273)

Матрицу обратной связи определим из соотношения (9-254) где

02 = iV)

K = [ki кг]

= 0,263

= (2z-1,263)

= -1,263

kj = Adj(zi-0(T)] - em

lz=0

0,001323 -0,675

(9-274) (9-275)

(9-276)

(9-277) (9-278)

G = [296,3 0,970] (9-279)

Подставляя матрицу коэффициентов обратной связи и управление и {кТ) в (9-269), получим уравнение состояния замкнутой системы:

х[(к-1-1)Т]1 Г0,395 0,000781 ГхСкТ) g 2goj

Х2[(к -Ь 1)Т] -200 -0.392 , ХгСкТ)

Решение последнего уравнения в г-области имеет вид

2 = Adj[zi-0(T)] -ест)

Подставляя вьгражения (9-275) - (9-278) в (9-274), получим

е(т)

0.00205

0,675

X(z) =

z-l-b0,395z-2 0,00078z-2 -200Z-2 z--0.392z-2

x(0)

(9-281)

Таким образом, поскольку оба собственных значения замкнутой системы расположены в точке 2 =0, в спроектированной системе с обратной связью по состоянию сво- , бодное движение имеет апериодический характер. Как следует из выражения (9-281),



при любых начальных условиях для Xi (кТ) и х (кТ) процесс переводится в нулевое состояние за два периода квантования.

Матрицу обратной связи G можно найти и другим методом, используя соотношения (9-244).

9.10. СИНТЕЗ ПО ЗАДАННОМУ РАСПОЛОЖЕНИЮ ПОЛЮСОВ С ПОМОЩЬЮ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ ПО СОСТОЯНИЮ (СЛУЧАЙ НЕСКОЛЬКИХ УПРАВЛЯЮЩИХ СИГНАЛОВ)

Метод синтеза систем с одним входным сигналом по заданному расположению полюсов с небольшим изменением можно распространить и на системы с несколькими входными сигналами. Рассмотрим систему

х[(к + 1)Т] = Ах(кТ) + Ви(кТ) (9-282)

тц,е х(кТ) и-мерный вектор; и(кТ) - г-мерный вектор. Предполагается, что пара матриц [А, В] полностью управляема. Задача ставится следующим образом: найти такую матрицу G (гХ и), чтобы при управлении

и(кТ) = -Gx(kT) (9-283)

собственные значения матрицы А-BG размещались в произвольно заданных точках йа z-плоскости.

Представим себе систему с одним входом

х[(к + 1)Т1 = Ах(кТ) + В*и(кТ) (9-284)

и определим матрицу В* размерностью иХ 1 как

B*=Bw (9-285)

где W имеет размерность гХ 1. Матрица w должна быть выбрана так, чтобы пара [А, В*] бьша управляема. Тогда с помощью обратной связи

и(кТ) = -G*x(kT) (9-286)

можно разместить собственные значения матрицы А-B*G* в тех же точках, что и собственные значения матрицы А-BG. Следовательно, задача сводится к синтезу обратной связи по состоянию для системы с одним входом, описьшаемой уравнением (9-284). Если будет найдена матрица обратной связи G*, то G определится выражением

G=wG* (9-287)

поскольку BG = B*G*.

Очевидно, что в общем случае матрица w не является единственной. Требуется только, чтобы она удовлетворяла условию управляемости пары матриц [А, Bw]. Матрицу коэффициентов обратной связи G* для одномерной модели можно определить, используя либо соотношение (9-244), либо формулу (9-254).

Пример 9.14. Рассмотрим цифровую систему управления с несколькими входами

х[(к + 1)Т] = Ах(кТ) + Ви(кТ) (9-288)



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 [ 110 ] 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147