Космонавтика  Декомпозиция цифровых систем 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 [ 109 ] 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147

A(z) = z + a z -l + a iZ -2 + ... + az+a

Aq(z) = z + a z -i + a iz -2 + ... + agZ + Выразим к (z) из уравнения (4-247):

n . n

k(z)= [Adj(zl- A)]B= Y z E ai+iA-J]

j-l i=j

Тогда (9-232) примет вид

n . n . . n-1

J=l i=j 1=0

(9-233) (9-234)

(9-235) (9-236)

Приравшшая коэффициенты при одинаковых степенях z в обеих частях последнего уравнения, получим

G(a .iB)=a -a Ki = D

G(a + a lA)B=a .i-a .i

G ZailA-lB = ai-ai или в матричной форме

(9-237)

0 .

0 .

.. 0

Vi

B(A)2

-2 ~ 11-2

4

B(A) -

aj-aj

(9-238)

Обозначим

0 ...

0 ...

a -i

a +i -

(9-239)

s= [

В АВ

... A -l

(9-240)

(9-241) (9-242)



Тогда запишем уравнение (9-238) как

MSG = а - а (9-243) Из последнего уравнения находим решение для G:

G= [(MS)-4a-a)] (9-244)*

Так как М есть треугольная матрица, содержащая единицы на главной диагонали, то она не является вырожденной. Поэтому, чтобы существовало решение для G, определяемое формулой (9-244), матрица управляемости S должна иметь ранг и, или, что то же самое, пара матриц [А, В] должна быть управляе5110й.

Матрица обратной связи G в выражении (9-244) представлена кшс функция коэффициентов характеристического уравнения замкнутой системы О/, i = 1, 2, п. Другое выражение для G может быть получено через желаемое собственные значения замкнутой системы. Пусть среди этих собственных значений Zj, Zj, Zj, z - различные, a все остальные являются кратными. Тогда

A(z;)=0 i=l,2,...,n (9-245) и, следовательно, из выражения (9-232) вытекает

Gk(Z;) = -Ao(Zi) i=l,2,...,m (9-246) Обозначим

Ц = k(zj) (9-247) .Ao(z.)=Aoj - (9-248) для г= 1, 2,т; тогда (9-246) примет вид

Gk; = -Apj (9-249)

В случае собственного значения кратности q продифференщруем обе части выражения (9-232) по z и, полагая z = z+у, / = 1,2,q, получим

= ~m+j (9-250)

Для всех п собственных значений имеем

(j= l,2,...,q) (j= l,2,...,q)

(9-252)

С[Ц kg ... k l=-[Aoi Ao2 ... AoJ (9-253)

* Более простое выражение для G может быть записано через собственные значения замкнутой системы, если А и В представлены в канонической форме фазовой переменной.



ea(t}

Рис. 9.54. Структурная схема двигателя постоянного тока Тогда

G=-[Aoi 2 - До ]К-1 -

К=[к, к, ... к ] (9-255).

Если пара матриц [А, В] управляема, то решение для G, определяемое формулой (9-254), существует: при том же условии существует и мат-рвда К .

Пример 9.13. Этот пример имеет целью проиллюстрировать синтез цифровой системы управления с заданным расположением полюсов и обратной связью по состоянию. Управляемый процесс задан в виде двигателя постоянного тока, структурная схема которого изображена на рис. 9.54. Электродвигатель предназначен для управления чисто инерционной нагрузкой таким образом, чтобы любые ненулевые начальные значения тока якоря гд и угловой скорости нагрузки cj сводились к нулю за минимально возможное время. Система такого типа относится к известному классу систем управления, назьгааемых стабилизаторами. Электродвигатель характеризуется следующими параметрами.

Сопротивление якоря

Индуктивность якоря

Постоянная вращающего момента

Постоянная противоЭДС

Момент инерции двигателя и нагрузки

Коэффициент вязкого трения

/?c = 10m

- незначительная /д = 0,345 Н-м/А Ь= 0,367 В/(рад-с ) /=1,41 -Ю кгм В = 0,25Н-м/(рад-с~)

Все параметры даны в системе единиц СИ и согласованы друг с другом. На рис. 9.55 приведена диаграмма состояния двигателя. Входной переменной является напряжение якоря eg{t). Из диаграммы очевидно, что переменными состояния являются б (О и cj (Г). Запищем уравнения состояния электродвигателя в виде

(9-256)

i(t) = A (t) + Bu(t)

x(t) =

e(t)

w(t)

(9-257)

U(t) = ejt)

(9-258)

(9-259)



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 [ 109 ] 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147