Космонавтика  Декомпозиция цифровых систем 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 [ 108 ] 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147

2,0- щс0111ит1мапы1т длительность) 6 Ml V !

Ц J - /1/ дпитеттсть)

с(пГ) Л

с=-0,5 С-О.в

=0(Ми11ималы1ая

T2T3T4T5T6T7T8T9T10Tt,C О Г гТ ЗТ Т 5Т бГ 7Т вТ 9Т 10Tt,C а) Б)

Рис. 9.53.Реакции системы на ступенчатый и линейный входные сигналы

При единичном линейном входном сигаале апериодическая реакция достигается, если замкнутая система имеет передаточную функцию (см. табл. 9.2)

M(z) = 2z-l-z-2 (9-207)

Реакции такой системы на единичные ступенчатый и линейный сигналы при с =0 изображены на рис. 9.53,с и б соответственно. ,

Заметим, что реакция системы на линейный сигнал устанавливается равной входному воздействию за два периода квантования. В то же время реакция на сту-. пенчатый сигнал имеет перерегулирование 100%.

Теперь воспользуемся соотношением (9-205) :

1-CZ-1 1-CZ-1 (9-208)

откуда

V , (9-209)

, (2-c)z-l-z 2

l-cz

Чтобы проиллюстрировать влияние весового коэффициента с и способствовать выбору его оптимального значения, на рис. 9.53,я и б изображены реакции системы в моменты замыкания соответственно на ступенчатый и линейный сигналы для различных значений с в диапазоне от -1 до 1. На рисунке видно, что при отрицательных значениях с у реакции системы на ступенчатый сигнал перерегулирование становится еще больше. При с = 0,8 перерегулирование составляет всего 20%, но при этом переходные процессы, вызванные и ступенчатым и линейным воздействиями, устанавда ваются очень медленно. По-видимому, в данном случае наилучшее компромиссное значение с =0,5.

9.9. СИНТЕЗ ПО ЗАДАННОМУ РАСПОЛОЖЕНИЮ ПОЛЮСОВ С ПОМОЩЬЮ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ ПО СОСТОЯНИЮ (СЛУЧАЙ ЕДИНСТВЕННОГО УПРАВЛЯЮЩЕГО СИГНАЛА)

В гл. 4 был рассмотрен метод синтеза цифровой системы управления при единственном входном воздействии с помощью обратной связи по. состоянию. Путем преобразования к канонической форме фазовой переменной было показано, что в системе

х[(к + 1)Т] = Ах(кТ) -Ь Ви(кТ) (9.210)



при формировании управляющего сигнала с помощью обратной связи по состоянию

и(кТ) =-Ск(кТ) (9-211)

где G - матрица коэффициентов обратной связи размерностью 1X и, собственные значения матрицы A-BG могут быть выбраны произвольным образом тогда и только тогда, когда пара матриц [А, В] полностью управляема. Собственно говоря, это положение справедливо и для системы с несколькими управляющими сигналами, если только она является управляемой.

В гл. 4 синтез системы по заданному расположению полюсов с помощью обратной связи по состоянию базировался на использовании канонической формы фазовой переменной. В этом параграфе предложены более общие методы решения этой задачи для систем с единственным управляющим сигналом. Сначала докажем некоторые функциональные соотношения, используемые как математический аппарат синтеза. Введем следующие определения:

То (z) = - G (zl - А) В - матрица преобразования сигнала

управления в разомкнутой системе;

(9-212)

Tc(z)=-G(zl-А+bg) в - матрица преобразования сигнала

управления в замкнутой системе;

(9-213)

T(z) = I-To(z) - разностная матрица сигнала уп-

равления; (9-214)

До (z) = I zl - АI - характеристическое уравнение мат-

рицы А (разомкнутой системы);

(9-215)

A(,(z) = zl - А + BG - характеристическое уравнение мат-

рицы А-BG (замкнутой системы);

(9-216)

A(z)=I-To(z)l = T(z). (9-217)

В этих выражениях Т обозначает единичную матрицу соответствующей размерности.

Сначала покажем, что Д (Z)

Для этого запишем

zl - А -ь bg = (zl ~ А)[1 + (zl - A)-1bG] (9-219)

Вычисляя определители обеих частей последнего уравнения, получим

\{z)= Izl-А-Ь bg= Ap(z)II-H (zl-A)-1bG (9-220)

Поскольку

II + (zl - A)-lBGl = II + BG(zI - A)-l I = il G(zl - A)-B\ (9-221) где единичные матрицы имеют различные размерности, выражение (9-220) принимает вид

AJz) = До(г)Д(г) (9-222)



Таким образом, соотношение (9-218) доказано.

Важную роль играет следующее функциональное соотношение:

Tq(z) = T{z)T(z) (9-223)

G(zl - A)-B = [1 G(zl - A)-B]G(zI - A + BG) В (9-224)

Применяя операцию обращешя матриц к обеим частям уравнения (9-219), получим

(zI-A+BG)-= [1+(zl-A)-BG]-l(zI-А)-1 (9-225)

Умножение обеих частей уравнения (9-225) слева на I + (zi - A)~*BG дает

[I-Ь (zl - A)-1bG](zI - А+ BG)- = (zl - A)-l (9-226)

Теперь умножая обе части (9-226) слева на G и справа на В, получим

G[I + (zl- A)-BG](zI- А + BG)-- = G(zl- A)-B (9-227)

Последнее выражение запишем иначе:

[I + G(zl - A)-1B]G(zI - а + BG)-B = G(zl - АуЧ (9-228)

Таким образом, соотношение (9-223) доказано.

Последнее необходимое нам соотношение получим, используя выражения (9-218) и (9-225). Запишем (9-214) в виде

вд=..С.1-л,-в = ,.сММгА)в

где Adj (zl-А) - матрица, присоединенная к матрице zl-А. Пусть

k(z) = [Adj(zl - А)]В (п X 1) Тогда (9-229) примет вид

(9-230)

A (z) + Gk(z)

(-)- A,(z) =(-) (9-231)

откуда следует, что T(z) есть скалярная функция.

Используя выражение (9-218), приведем последнее соотношение к виду

Gk(z) = A(z) - Ao(z) (9-232)

Таким образом, если известны k(z), А. (z) и (z), то из (9-232) мы можем найти решение для матрицы коэффициентов обратной связи G в слу-. чае, когда пара матриц [А, В] полностью управляема.

Из уравнения (9-232) можно получить два выражения для матрицы G. Положим



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 [ 108 ] 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147