Космонавтика  Декомпозиция цифровых систем 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 [ 105 ] 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147

РИС. 9.51. Цифровая система R(z) . управления +

Ее (г)

G(z)

C(zl

J

дить ПО поведению с (О - В общем случае, хотя с{кТ) может иметь малое перерегулирование или вообще не иметь его, действительная реакция c{t) может сопровождаться пульсациями в промежутках между моментами замыкания.

Поскольку период квантования Г=0,1 с намного меньше постоянных времени управляемого процесса, для данной системы можно ожидать, что С(г) или с(кТ) довольно хорошо совпадает с c{f). Поэтому есть надежда, что в системе с цифровым регулятором (9-158) переходная функция достигает установившегося значения, равного единице, за 0,1 с, а в промежутках между моментами замыкания пульсаций не будет или они будут малыми. Такой тип реакцди обычно назьшают апериодическим переходным процессом.

Важно подчеркнуть, что апериодический процесс можно получить только в идеальном случае, когда происходит идеальная компенсация полюсов и нулей. На практике неопределенность полюсов и нулей управляемого процесса, возникающая на стадии его описания, и ограничения в реа-лизапди передаточной функцди регулятора на ЭВМ приводят к тому, что достигнуть идеального апериодического процесса невозможно.

Подойдем теперь к синтезу систем с апериодическим переходным процессом с общих позиций. Рассмотрим структурную схему системы, изображенную на рис. 9.51, где G{z) - передаточная функция управляемого процесса, которая может включать и зкстраполятор нулевого порядка. Если мы получим критерий синтеза систем с апериодическим переходным процессом, будет ясно, что структура системы не обязательно должна быть такой, как показано на рис. 9.51.

Запишем передаточную функцию замкнутой системы:

r(z)~ H-GJz)G(z) (9-162)

Критерий синтеза характеризуется следующими условиями:

1) система должна иметь в моменты замыкания нулевую установившуюся ошибку при определенном входном сигнале;

2) длительность переходного процесса, определяемая временем достижения установившегося состояния, должна быть минимальной;

3) цифровой регулятор (z) должен быть физически реализуемым. Разрешая уравнение (9-162) относительно (z), имеем

1 M(z)

<с(>=б(ЩГ=1 (9-163)

; Запишем г-преобразование сигнала ошибки в виде

i e(z) = r(z),- C(z) = r(z)[l - M(z)l = 1 g(z!g(z) (9-164)



Представим г-преобразование входного сигнала в виде функции A(z)

~(l-z-i)N (9-165)

где N - положительное целое число; А (г) - полином от переменной г *, не имеющий нулей г = 1. Например, для единичной ступенчатой функции Л (г) = 1 и = 1; для еданичной линейной входной функции А (г) = Tz и = 2 и т. д. В общем случае выражение (9-165) соответствует входным сигналам типа . Приравняем к нулю установивщуюся ошибку:

lim е(кТ) = lim (1 - z ! )E(z) = lim (1 - z) А(г)[1 - M(z)] z-1 z-l n - 7-1

> (9-166)

Поскольку полином л (г) не содержит нулей г = 1, то необходимым условием равенства нулю установившейся ошибки является наличие множителя (1 - г *)в выражении 1 - Л/(г). Следовательно, последнее должно иметь вид

1-M(z)= (1-Z F(z) (9-167)

где F(z) - полином от переменной г . Разрешая последнее уравнение относительно М (г), получим

lV,(z)=g-(-l)F(z) (9.168)

Так как F(z) является полиномом от г~, то она имеет полюсы только г = 0. Таким образом, выражение (9-168) показывает, что характеристическое уравнение системы с нулевой установившейся охпибкой имеет вид

zP = О (9-169)

где р - положительное целое число, причем рЖ

После подстановки (9-167) в (9-164) г-преобразование ошибки принимает вид

E(z) = A(z)F(z) (9-170)

Поскольку и у4 (г) и F{z) являются полиномами от z~ *, то /(г), определяемое выражением (9-170), будет иметь конечное число членов при разложении его в ряд по отрицательным степеням г. Таким образом, если характеристическое уравнение цифровой системы управления имеет вид (9-169), т. е. все его корни нулевые, то сигнал ошибки будет сводиться к нулю за конечное число периодов квантования. В общем случае F(z) может иметь вид

где Fn{z) и F(j{z) - полиномы от г, не содержащие полюсов и нулей г = 1 и полюсов, для которых г > 1. Тогда характеристическое уравнение будет иметь вид

zPF(z) = О (9-172)



Условия физической реализуемости. Выражение (9-168) показывает, что синтез цифровой системы управления с апериодическим переходным процессом при заданном входном воздействии прежде всего связан с выбором функции F(z). Если по этому выражению установлен вид M(z), то передаточная функция цифрового регулятора находится с помощью (9-163). Однако требование физической реализуемости Gz) и тот факт, что G(z) есть передаточная функция реального физического процесса, накладывают ограничения на вид передаточной функции замкнутой системы M(z). В общем случае G(z) и M(z) могут быть представлены разложением в степенной ряд

G(z)=g z- +g z- -l+... (9.173)

M(z) = mz- + i k+i + (9-174)

где и > О и /с > 0. Подставляя два последних выражения в (9-163), получим t ,

rtiz- + m,z + ...

~ (g z- -hg ,;z- -lT:..)(l - m,z-k - m ,z-k-l

= d,. z-(- )-Hd, z-(-i)+...

(9-175)

Таким образом, чтобы функция G (z) была физически реализуемой, должно выполняться условие к > п, т. е. низшая степень разложения M(z) в ряд относительно переменной z должна быть во всяком случае не меньше аналогичной (низшей) степени полинома G(z). Тогда выбор функции F(z) при заданном входном воздействии должен производиться на основании соотношения (9-167) с учетом сформулированного требования к M(z).

Согласно Z-преобразованию входного сигнала (9-165), значение А определяется его видом, т. е. для ступенчатого сигнала Л= 1, для линейного сигнала N= 2, для параболического сигнала Л=3 и т. д. Связь между общим видом М(z) и типом входного сигнала, необходимая для получения апериодического переходного процесса, устанавливается с помощью соотношения (9-168). Эта связь отражена в табл. 9.2.

Анализ табл. 9.2 показьшает, что функция F(z) должна содержать, по крайней мере, слагаемое, равное единице, ибо, если такое слагаемое будет иметь M{z), она не будет физически реализуемой. В действительности, ничто не мешает выбрать F(z) = 1 для всех входных сигналов типа (9-165). Тогда для трех основных типов входных сигналов, рассмотренных в табл. 9.2, передаточные функции замкнутой системы с апериодическим переходным процессом будут иметь вид, представленный в табл. 9.3.

Таблица 9.2

Входная функция

M(z)

Ступенчатая Us W 1 l-U-z )F(z)

Линейная tos (О 2 1 - (1 - z ), F(>

Параболическая fUj (О 3 . l-(l-z;.) F(z)



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 [ 105 ] 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147