При единичной ступенчатой функции устарювившееся значение выходного сигнала определяется выражением

lim с(кТ) = lim (1 - z-l)C(z) = 11m 0,0453(z + 0,904L = o,837 (9.145)

k- z=l z=l z2 - 1.679Z + 0,782

Следовательно, устарювившаяся ошибка системы равна 0,163. Переходная функция системы без коррекции изображена на рис. 9.50.

Для устранения установившейся ошибки введем в закон управления интегральную составляющую. Сначала выберем только пропорционально-интегральный (ПИ) регулятор (К(} = 0). Передаточная функция разомкнутой системы с ПИ-регулятором

(2Кр + KjT)

KjT + 2Кр

0.0453(2 + 0.904) 9-1*>

G(z)GoGp(2) - 2(z - 1) (z- 0,905)(z - 0,819)

Так как Кр и Kj выбираются произвольно, можно синтезировать регулятор таким образом, чтобы его нуль компенсировал один из полюсов передаточной функции процесса. Примем

KjT-2K

1ф+21 = -0,905 (9.147)

Следовательно,

Kp/Kj = 1,е0263 (9-148)

При Кр = \\1 /С/=0,997 передаточная функция цифрового регулятора имеет вид

Ge(z)= 1.0499 в (9-149)

Передаточная функция разомкнутой системы с коррекцией

CMC г :л 0-076(z-b0.904) (9.150)

Gp(2)G(jGp(z)-jj lj(j, 0gl9)

Поскольку эта передаточная функция имеет полюс г = 1, то при ступенчатом входном воздействии устарювившаяся ошибка замкнутой шстемы равна нулю. Переходная функция системы с цифровым ПИ-регулятором при Кр = \vl АГ/ = 0,997 приведена на рис. 9.50. Заметим, что, хотя ПИ-р егулятор позволил полностью устранить установившуюся ошибку, максимальное перерегулирование возросло до 45%. Максимальное перерегулирование можно уменьшить, увеличив время нарастания. На рис. 9.50 показаны переходные фзнкции системы для двух других сочетаний коэффициентов Кр и Kj.

c(t) ПИД~регулятар, 11,45, Кр1, KOfid

llp=0.Z5,tf=0,249

7,0\-

Рис. 9.S0. Несходные функции цифровой сисгемы управления

Чтобы исключить установившуюся ошибку и одновременно получить хорошее качество переходного процесса, необходимо использовать ПИД-регулятор. Пусть цифровой ПИД-регулятор описьшается передаточной функцией

KiT(z-H) K(z-l)

(КдТ + 2К + 2KpT)z2 +(Kj - ЖрТ - 4K)z + 2K

2Tz(z-l)

Тогда передаточная функция разомкнутой системы с коррекцией будет иметь вид

(KjT + 2К + 2К T)z2 +(Kj - 2К Т- 4K)z + 2К Gj.(z)Gv,nG (z) =------->T.t.-l\ X

-hO>* ~ 2Tz(z - 1)

0.04 53(z + 0.904) (9-152)

(z - 0,905)(z - 0,819)

Итак, есть три неизвестных параметра Кр, Kj и К, которые необходимо определить, исходя из заданных показателей качества.

Потребуем, чтобы коэффициент ошибки по скорости Ку бьш равен 5 и, кроме того, чтобы два нуля ПИД-регулятора компенсировали два полюса управляемого процесса: z = 0,905; г =0,819. Эти условия должны дать три линейно независимых уравнения для определения трех неизвестных параметров ПИД-регулятора.

Воспользуемся выражением для коэффициента ошибки по скорости

К = lim <z - l)G(z)Gj,oG (z) = 5К (9.I53)

z->l

Интересно, что Ку определяется только коэффициентом Kj и параметрами управляемого процесса и не зависит от Кр и Кф Так как коэффициент Ку должен быть равен 5, получаем Kj=\.

Выбирая два нуля регулятора так, чтобы они компенсировали полюсы процесса, получим

КтТ2 2КТ-4К. 2К.

г + ------гЛ--%- = (Z - 0,905)(z - 0,819) (9-154)

2КрТ + KjT -t- 2К 2КрТ + KjT + 2К

Поскольку Kj= 1 и Г = 0,1 с, из этого уравнения находим значения Ар = 1,45; К = 0,43. После подстановки параметров регулятора в выражение (9-151) передаточная функция скорректированной разомкнутой системы принимает простой вид:

Р Р - 0 3(z + 0,904)

Gc(zHoV) z(z-l) (9-155) Передаточная функция замкнутой системы C(z) 0.263(z + 0,904)

ад z2-0.737sf 0,238 (9-15>

Корни характеристического уравнения имеют значения z = 0,369 +/0,319 и г =0,369- -/0,319. Переходная функция системы с ПИД-регулятором изображена на рис. 9.50. Очевидно, что введение производной в закон управления не только уменьшает перерегулирование, но и сокращает время нарастания. В данном случае перерегулирование составляет около 4%.

9.8. СИНТЕЗ ЦИФРОВЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ С АПЕРИОДИЧЕСКИМ ПЕРЕХОДНЫМ ПРОЦЕССОМ

Большая часть систем управления проектируется таким образом, чтобы переходный процесс в них как можно быстрее достигал требуемого значения. Такой класс систем )шравления называется системами с минимальным временем переходного процесса, или системами, оптимальными по быстродействию (см. гл. 8). Что касается методов синтеза, рассмотренных в данной главе, то они бьши ориентированы на получение небольшого максимального перерегулирования и малого времени нарастания переходной функции. Практически все зти методы базируются на опыте, приобретенном при синтезе непрерывных систем управления, где, например, широко используются ПИД-регуляторы и регуляторы с отставанием или опережением по фазе. Однако структура цифрового регулятора обладает значительно большей ги6костью7Тюэтому возникает необходимость рйработать оригшальные методы, отличные от принципов синтеза непрерывных систем управления.

В примере 9.9 с помощью ПИД-регулятора удалось существенно улучшить переходный процесс щ1фровой системы управления. А нельзя ли сделать его еще лучше? Перепишем передаточную функцию управляемого процесса (9-143):

г 0i0453(+ M04b.

Чор - (Z - 0,905)(z - 0,819) (9-157)

Пусть последовательный цифровой регулятор имеет передаточную функцию

(z- 0,905)(z-0,819)

с - 0.0453(z - l)(z + 0.904) (9-158)

Итак, введение регулятора приводит к компенсации всех полюсов и нулей процесса и появлению нового полюса z = 1. Передаточная функция разомкнутой системы с коррекцией приобретает простой вид:

Ge(-)GhoGp(z) = -j (9.159

Соответствующая ей передаточная функция замкнутой системы C(z) 1

R(z) - z (9-160)

Тогда при ступенчатом входном воздействии z-преобразование выходного сигнала имеет вид

C(z) = = Z-1 + Z-2 + + ... (9-161)

Это означает, что выходной сигнал системы с{кТ) достигает требуемого установившегося значения за один период квантования и с этого момента сохраняет данное значение. Перерегулирование с(кТ) равно нулю. Однако надо иметь в виду, что в действительности о качестве системы следует су-