описывается двумя системами линейных дифференциальных уравнений состояния, соответствующих обеим структурам:

rAiX4-b, , nT<t<nT-}-, (I)

А,х4-Ь,и. nT-x<t<{n-yi)T, (2)

где X - вектор состояния, включающий токи индуктивностей и напряжения емкостей (в этом случае отсутствуют скачки переменных состояния при переключениях, т. е. нет необходимости вводить вектор смены состояний); Ai, А2 - вещественные матрицы порядка niX.m; bi, - вещественные матрицы порядка \Ут; и - напряжение питания.

Предположим вначале, что управляющее воздействие постоянно (g=const) и ему соответствует постоянная длительность замкнутого состояния ключей т=т*. В то же время существуют возмущения по цепи питания, имеющие колебательный характер с частотой, значительно меньшей частоты переключения ключей. В этом случае без большой погрешности напряжение питания можно считать постоянным на периоде Т, т. е. как бы ввести экстраполя-тор нулевого порядка и записать решения уравнений (1) и (2) в виде

ехр А, {t - пТ) х + А,- [ехр Л, (t - пТ) - 1] Ь, , nT<t<nTx*, (3)

ехр А, {t-iiT- X*) + Л[ехр Л, (t - пТ - г*) --1]Ьл, /гГ + х*<<{ +1)7, (4)

где Хп=х(пТ); Хпх=х{пТ-\-т:*); Un = u(nT); 1 - единичная матрица.

Сшивая решения на границе обоих интервалов, получаем следующее разностное уравнение:

Xn+i=H2i*Xn+di*Un, (5)

Я21*=Я2*Я1*, Я1*=ехрЛ1т*, Я2*=ехрЛ2(7-т*),

di* = H2*A-i(Hi*-\)bi+A2-4H.2*-l)b2.

Это уравнение описывает поведение цепи в дискретные моменты времени t=nT (п = 0, 1, 2...). Подвергая последнее уравнение Z-преобразованию, получаем

X(Z) = (Zl-H2.*)-d,*t;(Z), (6)

Пусть выходная переменная у формируется из переменных состояния с помощью матрицы-строки с, т. е.

у=ах. (7)

Тогда дискретная передаточная функция ЦПС по на- пряжению питания опишется следующим выражением:

==Т7§-)=( - H;,rd,*. (8)

Полагаем теперь, что напряжение питания постоянно (не имеет возмущений), а низкочастотные колебания малой амплитуды идут по цепи управления ключом (или несколькими синхронными ключами), вызывая колебания параметра т относительно некоторого невозмущенного значения т*. Эти колебания параметра т, в свою очередь, вызывают колебания переменных состояния относительно установившегося значения х*, которое может быть найдено из следующего выражения, полученного из условия х +1 = х =X* (t;=const):

x*=(l-H2i*)-id,*t;. (9);

Для простоты полагаем вначале, что имеем пропорциональное изменение длительности замкнутого состояния ключей т в функции входного воздействия g (ШИМ 1-го рода)

Zri=kgn, (10)

где k - коэффициент пропорциональности.

В этом случае можно записать разностное уравнение, аналогичное уравнению (5), однако оно будет нелинейным, так как управляющее воздействие входит в показатели матричных экспоненциалов Hi и Нг,

Х +, = Н, Н, х +[Н А-\ (Н, - I) Ь, + АГ (Н, - 1) Ь,] и,

где Н, = ехрА,х , HexpA?- ).

Линеаризуя последнее уравнение в окрестности режима с параметрами х* и т*, получаем следующее уравнение в вариациях:

6x +i=H2i*6x -fd2*6T , (12)

где ds* = H2*(A,-A2)H,*x*-A2H2*A-i(Hi*-l)B,t;* -Н -f H2(H,*b,-b2)t;*.

Подставляя в это выражение уравнение (10), записанное в отклонениях, получаем искомое линейное разностное уравнение

6x +i = H2i*6x -fifed2*6gn. (13)

Подвергнув последнее уравнение Z-преобразованию й введя выходную переменную у=сх, получим линеаризо-

ванную передаточную функцию по управляющему воздействию

W,(Z)=c(Zl- Н2*,ГИ*. (14)

Частотные характеристики замкнутых ЦПС. Рассмотрим теперь замкнутую ЦПС, имеющую по-прежнему две топологические структуры, описываемые уравнениями (1) и (2). Пусть ключ управляется широтно-импульсным модулятором 2-го рода, работающим на принципе сравнения сигнала ошибки e=g-y с пилообразным напряжением, т. е. моменты переключения Тп определяются как наименьший корень уравнения

е-ат=0, (15)

где а - тангенс угла наклона составляющей пилообразного напряжения {a=UmliKo.cT), t/m - амплитуда пилообразного напряжения, /Со.с - коэффициент усиления по постоянному току цепи обратной связи, Т - период работы широтно-импульсного модулятора.

Если для получения передаточной функции просто разорвать цепь в месте снятия сигнала обратной связи, как это делается для линейных систем, то в этом случае не удается учесть динамические свойства широтно-импульсного модулятора, являющегося существенно нелинейным динамическим звеном. Поэтому предлагается искать сначала линеаризованную дискретную передаточную функцию замкнутой системы, а затем из нее получать передаточную функцию разомкнутой системы для построения частотных характеристик.

Уравнение (15) перепишем в виде

g-c[H,x-bA,->(Hi-l)B,[/]-aT=0. (16)

По-прежнему предполагаем наличие в цепи простого периодического режима, характеризуемого значения д; и т*. Эти значения находятся из совместного решения нелинейного уравнения (11), в котором полагается x +i = =х =х*, и уравнения (16) для заданных g=const и и= =const. Решение этой системы можно найти с помощью одного из численных методов, например метода Ньютона- Рафсона.

Тайдем дискретную передаточную функцию замкнутой ЦПС, линеаризованной в окрестности найденного периодического режима. Полагаем вначале, что управляющее воздействие постоянно, а напряжение питания имеет пульсацию б относительно номинального напряжения U*, ко-