При со 1/Т, согласно (1-46),

L(co) = 201g/c -201g j/2 = 201gA: -3 дб.

Таким образом, максимальное расхождение между истинной и асимптотическо!! л. а. х. равно всего 3 дб. Поэтому при практических построениях л. а. х. статических звеньев первого порядка используют обычно асимптотическую л. а. х.

Фазовая частотная характеристика, соответствующая выражению (1-45), показана в логарифмическом масштабе на рис. 1-7, д: при со оо значение ф изменяется от О до -л/2. При этом в точке со = 1/Г имеем ф = -л/4.

Если частотные характеристики получены экспериментально, по ним нетрудно определить параметры звена Тик, пользуясь описанной выше зависимостью между этими характеристиками и передаточной функцией.

На примере рассмотренного звена можно проиллюстрировать сформулированное в предыдущем параграфе положение о том, что величина полосы пропускаемых звеном частот, т. е. ширина частотной характеристики, является мерой быстродействия звена: чем длиннее частотная характеристика звена, тем короче его переходная характеристика, т. е. меньше инерционного звена. В случае статического звена первого порядка инерционность определяется постоянной времени Т. Выше было показано, что длительность переходной характеристики у этого звена пропорциональна Т, в то время как сопрягающая частота его л. а. х.,а следовательно, и длина всей этой характеристики обратно пропорциональны Т.

Б. Статическое идеальное звено

Его уравнение а передаточная функция

ij:=-kx, W{p)k.

(1-47) (1-48)

К такому звену сводится рассмотренное выше статическое звено первого порядка, если можно пренебречь его инерционностью, т. е. принять У = 0.

Это звено без искажения пропускает все сигналы и имеет, согласно (1-47),

1г{1) = кЛ (О и PF(/co) = A,

В. Статическое колебательное звено второго порядка

Уравнение этого звена

{Т\рТ,р + \)у = кх, причем и fa связаны условием

(1-49) (1-50)

Это условие означает, что корни характеристического уравнения Г\Х-ТХ+ (1-51) соответствующего дифференциальному уравнению (1-49), равные

1,2 -

(1-52)

являются комплексными.

Уравнение установившегося статического режима этого звена, согласно (1-49), имеет тот же вид, что и у статического звена первого порядка:

Передаточная функция, соответствующая уравнению (1-49),

W{p) =

тр + T2P + 1

(1-53)

Переходная функция, являющаяся решением уравнения (1-49) при X = 1 (t), имеет вид:

Здесь а = -

/г (1) = к

/aMiPi,a. sinfp-farctgA

(1-54)

Y 4rf - Tl

272 к--272---соответственно действительная

и мнимая части корней (1-52) характеристического уравнения (1-51).

На рис. 1-8, а показаны переходные характеристики колебательного звена для ряда значений = Т/2Т-. Как видно из рисунка, с ростом значения колебательность переходного процесса уменьшается, исчезая совсем при 1.

Дифференцируя выражение (1-54), можно найти весовую функцию звена. Возможный ее вид показан на рис. 1-7, б. Примерами колебательного звена являются электрический резонансный контур при достаточно малом активном сопротивлении и электрический двигатель при достаточно большой постоянной времени цепи якоря.

По экспериментально снятой переходной характеристике можно найти нара.метры Т-, Т и к, определяющие уравнение звена:

= ?/ст при = 1;

тх=.

а2 + р2 2а

а2 + р2

(1-55)

входящие сюда величины а и 3 вычисляются непосредственно по нереходной характеристике следующим образом. Согласно (j-54), величина р, являясь частотой колебаний, равна

о 2я

(1-56) 39

Сч,с.>

op О

о; о Я PL,

С\ о ! I

g период колебаний, определяемый по переходной характеристике (рис. 1-8, а). Величина а в соответствии с (1-54) характеризует степень затухания колебаний и может быть найдена из выражения

Аумакс 2 (1Т

где Дг/макс 1 И Дг/макс 2 - амплитуды Колебания у относительно конечного установившегося его значения, отстояп],ие друг от друга на время, равное периоду колебаний т (рис. 1-8, а). Отсюда

а = - In

ДУмакс

2 -1-2 3 Ig

1 Думакс I

(1-57)

Амплитудно-фазовая частотная функция, согласно (1-53), равна 0) (1 т1) +/г,со - (1 -+ гг>- (i-)

Соответствующая характеристика показана на рис. 1-8, в. Исходя из выражения (1-58)

У (1 - Т-;(02)2+ 7ш2

ф ( ) = - arctg

L(co) = 201g/£ -201g /(1 - Г?со2)2+ Г(й2.

(1-59)

(1-60)

На рис. 1-8, г приведены л. а. х. колебательного звена при /с = 1. Там же показана асимптотическая л. а. х. Она представляет собой ломаную линию, состоящую из двух асимптот, к которым стремится л. а. х. при со О и со -> оо. Одна асимптота - ось абсцисс; в общем случае она идет вдоль оси абсцисс на расстоянии 20 Ig к. Другая асимптота имеет наклон -40 дб/дек. Точка пересечения асимптот соответствует со = l/Z*!. Уравнение первой асимптоты получается из (1-60) при оз 1/7 :

L(co) :.20 [gk.

Уравнение второй асимптоты соответствует со i/T. При этом

L(co)201g/c -401grico.

Из последнего выражения следует, что при увеличении частоты на декаду L (со) понижается на 40 56, что и определяет указанный выше наклон второй асимптоты в -40 дб/дек.

При 0,4<С<;0,7 расхождение между асимптотической и истинными л. а. х. не превышает 3 дб, как и в случае статического звена первого порядка. Поэтому для звеньев с таким значе-ниеьг можно пользоваться асимптотическими л. а. х. При других значениях асимптотическую л. а. х. корректируют с помощью

готовых графиков поправок, дающих разность меяоду истинной и асимптотической л. а.х! Эти графики приведены на рис. 1-9.

Фазовая частотная характеристика (ф. ч. х.) колебательного звена показана на рис. 1-8, г вместе с л. а. х.

Исходя из рассмотренной выше связи между параметрами колебательного звена и частотными характеристиками, по экспериментально полученным частотным характеристикам всегда можно

16 16 14 12 W 8 6

2 О -2 -и

и. о.? 0.3 0,4 0.5 0,6 0,8 1,0 2 3 4 5 6 8 10 Т,ш

Рис. 1-9. Графики поправок к асимптотической л. а. х. колебательного звена.

определить эти параметры и, таким образом, составить уравнение-звена.

Остановимся теперь на звене, описываемом уравнением (1-49):

(Пр2+7> + 1)у = ;,-гг,

но при t, - Т2/27i 1, т. е. при невыполненном условии (1-50).

В этом случае, согласно (1-52), характеристическое уравнение, соответствующее данному дифференциальному уравнению, имеет не комплексные, а отрицательные действительные корни. Поэтому такое звено уже не является колебательным. Левая часть уравнения (1-49) может быть разложена на два множителя и уравнение представлено в виде:

{Т,р+1){7\р+1)у = кх, (1-61)

T,±YTi-ATi

Действительно, если раскрыть скобки в (1-61), получим исход-

уравнение (1-49). Такое разложение имеет смысл только при /2Ti 1 только в этом случае r, r..,.r,:cr тт,-,

3 и 7 являются дей-

гтвительными величинами.

В соответствии с (1-61) рассматриваемое неколебательное ста-ическое звено второго порядка эквивалентно двум последовательно соединенным звеньям первого порядка, описываемым уравнениями:

(2 зР + 1) Z = кх\ {T,p + \)y = z,

2 - новая промежуточная неременная. Это означает, что такое звено может быть заменено в структурной схеме двумя звеньями первого порядка, т. е. его нельзя считать элементарным звеном.

Еще одним частным случаем звена, описываемого уравнением (1-49), является так называемое консервативное злено.

У этого звена i2

Г, = О

и, следовательно, {Тр-\-\)у = кх.

уравнение имеет вид: (1-62)

Переходная характеристика такого звена представляет собой незатухающее колебание.

(1-63)

Г. Идеальное интегрирующее звено

Уравнение .этого звена

ру = кх

или в интегральной форме

у = ~ Z = /с xdtXf.

Таким образом, выходная величина этого звена пропорциональна интегралу от входной величины, чем и объясняется название звена.

Примером интегрирующего звена может служить гидравлический сервомотор, выходом которого является перемещение поршня, а входом -- давление жидкости, подаваемой в его цилиндр.

Отметим, что коэффициент передачи интегрирующего звена имеет размерность Нсек. Интегрирующее звено иногда называют астатическим (т. е. нестатическим).

Переходная функция интегрирующего, звена

h{t)==kt, (1-64)

а весовая функция

w{t) = h{t) = k. (1-65)

Соответствующие характеристики приведены на рис. 1-10, а.