функцию на выходе квантователя К2, в П-образные импульсы с 7=1. Передаточная функция формирующего элемента определяется формулой (12-2). Напомним, что вместо тих двух звеньев можно поставить один импульсный элемент с П-образными выходными импульсами. При этом дискретная передаточная функция последующей непрерывной части системы будет определяться по формуле (12-32).

Схема на рис. 12-15, а относится к системе с линейной непрерывной частью и линейным алгоритмом ЦВМ. Это означает, что цифровые величины на входе и выходе ЦВМ связаны линейным разностным уравнением и, следовательно, ЦВМ может быть опи-

Рис. 12-15. Расчетная структурная схема цифровой САУ.

сана некоторой дискретной передаточной функцией VFbm (z) В простейшем случае, например в случае цифровой системы автоматического регулирования, алгоритм работы ЦВМ может заключаться в вычислении отклонения выходной величины объекта X от ее заданного значения Хд, его нескольких интегралов и производных, служащих для коррекции. Поскольку все это сводится к вычислению сумм и конечных разностей, ЦВМ опишется линейным разностным уравнением и, соответственно, дискретной передаточной функцией.

Обычно в цифровых САУ шаг квантования q в преобразователе Н - Ц много меньше, чем в обратном преобразователе Ц Н на выходе управляющего устройства. В этих условиях квантователем Ri можпо пренебречь, заменив его характеристику прямой линией, и тогда схема системы принимает более простой вид, как показано на рис. 12-15, б, включая только одну нелинейность преобразования Ц - Н.

Число уровней у квантователя определяется числом разрядов ЦВМ, которое, в свою очередь, выбирается исходя из

!бований точности получения и обработки информации. Число уровней квантования может быть сколь угодно малым [ределе вплоть до двух, что соответствует релейному управлению )ъектом. Это возможно, например, при оптимальном по быстро-JЙcтвию управлении объектом с применением ЦВМ (см. тринад-атую главу).

Заметим, что схема на рис. 12-15 соответствует квантованию преобразователе - Ц по уровню величины (амплитуды) пульсов или предварительно приведенному к нему квантованию уровню ширины или фазы импульсов (см. § 12-2). При достаточной малости шага квантования дав преобразо-1теле Ц - Н, когда квантованием в системе вообще можпо

[ебречь, ступенчатая харак-еристика квантователя R ва р)ис. 12-15, б тоже заменяется ямой линией, и мы получаем цельную импульсную систе-. (см. рис. 12-8). При наличии нелинейностей Гненрерывной части или в ал-оритме управляющего устрой-они вводятся в расчетную кему системы на рис. 12-15, а i виде отдельных звеньев. , Методика исследо- ания цифровых САУ случае, когда можно прене речь квантованием по уровню сводится к исследованию пре цельной импульсной системы Три этом в процессе исследова

ДЛ=Л-У

Рис.

12-16. Квантование сигнала цифровой САУ.

-------- ----

ня устойчивости отдельно следует рассмотреть вопросы о воз-ожпости возникновения автоколебаний в точке установившегося .ежима за счет зоны нечувствительности квантователя и об их параметрах подобно тому, как это делается в релейных системах. Квантованный по уровню сигнал (рис. 12-16) можно представить как пеквантованный сигнал с наложенной на пего ошибкой Бсвантования (АХ па рис. 12-16). Ошибка квантования является пучайпой величиной, изменяющейся в пределах ±ql2. При эстаточно малом шаге квантования она имеет практически равпо-врное распределение относительно нулевого среднего значения м. рис. 3-1, г) и не зависит от закона изменения квантуемого рвгнала [27[. Плотность вероятности ошибки квантования

p{x) =

7 при

[ о при 1АХ>.

(12-43)

Дисперсия ошибки, согласно (З-Юа),

12--

(12-44)

Таким образом, при достаточно малом шаге квантования оно эквивалентно источнику шума на входе приведенной части системы Wp (z). Поэтому в случае приведения цифровой САУ к предельной импульсной САУ путем исключения из схемы квантователя нри исследовании точности системы ошибку квантования можно учесть сведением на вход приведенной непрерывной части системы случайного возмущения (шума), описываемого выражением (12-43) и соответственно (12-44).

При достаточно большом шаге квантования сведение цифровой САУ к предельной импульсной с заменой квантователя источником шума, некоррелированного с квантуемым сигналом, может привести к недопустимо большой ошибке. .В этом случае цифровая система должна исследоваться как существенно нелинейная с учетом наличия в ней квантователя (рис. 12-15) подобно релейной САУ без вибрационной линеаризации (см. одиннадцатую главу).

Коррекция цифровых САУ осуществляется прежде всего путем выбора соответствующего алгоритма ЦВМ, входящей в состав управляющего устройства. Поэтому принципиально здесь применимы любая коррекция, любой алгоритм управления, которые могут быть реализованы с помощью соответствующей ЦВМ. При этом, как уже отмечалось, усложнение алгоритма работы управляющего устройства в данном случае не ведет к снижению точности его реализации, как в случае систем непрерывного действия.

Некоторые особенности синтеза цифровых САУ описаны в работах [26; 27].

ГЛАВА ТРИНАДЦАТАЯ

ОПТИМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО

УПРАВЛЕНИЯ

§ 13-1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Оптимальные САУ - это системы, в которых обеспечено оптимальное значение какого-либо основного показателя качества работы системы, называемого критерием оптималь-

Lo с т и. Таким критерием оптимальности может быть один из экгзателей качества переходного процесса (например, его дли-ibHOCTb), точность в установившихся режимах, потребляемая Мощность, себестоимость продукции и т. п.

Примерами оптимальных САУ являются: система управления {олетом самолета, обеспечивающая минимальный расход горю-го на заданном маршруте, система управления курсом корабля, существляющая максимально быстрое изменение курса нри на-ачии ограничений угла поворота и скорости перекидки руля, система управления мощностью генерирующих агрегатов на цектростанциях, обеспечивающая минимальную стоимость электроэнергии нри наличии зависимости стоимости электроэнергии, вырабатываемой каждым агрега-ом, от его нагрузки. В настоящей главе будет рас-этрена методика синтеза онти-1ьных САУ. Для решения этой чачи прежде всего необходимо вть возможность выразить ко-тественно критерий оптималь-ости. (О практической ограни-Внности этой возможности см. в 7-5). Как правило, для опреде-Ьения критерия оптимальности рребуется интегрировать во вре-ени какую-либо функцию, вели-ша которой зависит от текущего состояния объекта, т. е. критерий оптимальности являет-Ья обычно функционалом. При йтом его обычно составляют так, чтобы условием оптимальности системы был минимум этого функционала. В результате задача (Синтеза оптимальной САУ сводится к синтезу управляющего стройства, обеспечивающего минимум выбранного критерия 1тимальности.

Математически задачу синтеза оптимального управляющего устройства можно сформулировать следующим образом (рис. 13-1). имеется объект управления О (рис. 13-1, а), описываемый задан-аой зависимостью его выходной величины X от входных величин и F:

X = Ao(U,F, f). (13-1)

1десь выходная величина X, управляющее воздействие U и

Рис. 13-1. К задаче оптимального управления.

1 Функционал - это величина, значение которой определяется заданием ции. Примером функционала являются интегральные критерии качества л. § 5-4), значение которых определяется всей кривой переходного процесса, е. функцией x(t).

внешнее возмущение F - векторы, содержащие произвольное число составляющих, а Ад - оператор объекта, в общем случае нелинейный. Время t присутствует в (13-1) в случае нестационарного объекта.

Часто зависимость (13-1) задают в виде системы дифференциальных уравнений:

= ф, (Х ..Х , t/ ..., Vr, Fi,... F t);

= PniXi,--,X ,Ui,., Ur,F,...,F t),

где ф{ - в общем случае нелинейные функции. В векторной форме это выглядит следуюпщм образом:

(13-2)

dX dt

= Ф(Х, и, F, t).

(13-3)

где ф - к-мерный вектор с координатами ф, ф.

На управляющие воздействия, входящие в состав вектора U, и на некоторые координаты объекта, входящие в X, практически всегда наложены различного рода ограничения. Например, к ним относятся насыщение в исполнительных звеньях управляющего устройства (см., в частности, ограничение скорости движения следящей системы на рис. 9-10 в- § 9-3), ограничения переменных в объекте унравления, определяемые условиями его эксплуатации и конструкцией (ограничение угла поворота заслонок, рулей, движка потенциометра и т. п., ограничение температуры нагрева двигателей, ограничение количества горючего в баках самолета или ракеты). Эти ограничения задаются в виде ряда неравенств:

5(X-U)0, m = l,2,...,

(13-4)

где - функций или функционалы.

В простейшем случае ограничения величины отдельной координаты неравенство (13-4) принимает вид:

-где С/пр и Xj p - предельно допустимые значения соответствующих координат.

Критерий оптимальности управления задается в виде некоторого функционала Q (X, Хд, U, F, t), зависящего в самом общем случае

Оператор-это закон, определяющий одну функцию по другой. Он может быть задан в виде уравнений, графиков или таблиц. В случае (13-1) оператор Ао символически определяет всю совокупность математических операций, с помощью которых по множеству входных функций U, F и < находится множество выходных функций X, представленных в виде вектора.

►от X, и, F и так и от задающего воздействия Хд. Обычно он ставляет собой интегральную зависимость

Q = \GOL,X V,F,t)dt, (13-5)

*ц - длительность всего процесса. уТакого типа зависимостями являются, в частности, интеграль-критерии качества переходных процессов (см. § 5-4) и средне-ратичное отклонение случайных процессов (см. § 3-1). В про-аем, но важном случае, когда G = 1, критерий оптималь-ти принимает вид: ,

Q = \dt = ta,

минимизируется время процесса управления. Системы, которых это обеспечивается, называются системами, [тимальными по быстродействию. Задача получения оптимального управления заключается обеспечении такого закона управления U (*), при котором имеет сто минимум функционала Q, т. е.

(Х, Х и, F,0 = inin.

(13-6)

Задаче оптимального управления можно дать следующее метрическое толкование, если воспользоваться фазовым про-ранством (рис. 13-1, б). Пусть задачей управления объектом ляется перевод его из начального состояния, соответствующего аке Мо (f = 0), в состояние, определяемое заданием Хд и соот-ствующее точке (t = Перемещение изображающей очки из первого, начального, положения во второе, конечное, оисходит под действием управляющих воздействий и, ?7 Гможет быть осуществлено по различным траекториям (пунктир-линии на рис. 13-1, б) в рамках ограничений (13-4). Каждой [)&ектории соответствует определенное значение критерия опти-льности Q. Задача сводится к определению такого управляю-1его воздействия И {t), при котором процесс перехода X {t) из ачального состояния в заданное конечное обеспечивается при димуме Q с соблюдением условий (13-4). Требование минимизации. критерия Q может быть формально иенено требованием минимизации конечного значения одной координат объекта управления. Для этого в уравнения (13-2) ьекта вводится дополнительная координата, которой является акционал Q. Это делается добавлением к уравнениям (13-2) ового уравнения:

-=G(Zi.....I/ ..., Ur, , .... F t).

(13-7)

ачем

Хо(0) = 0.