РТзображение Фурье X (/со) имеет уя<е известный нам физиче-скш! смысл - это частотная функция, определяющая гармони-ческрш состав функции х (t).

Если в формуле (6-7) нижний предел сделать - оо, получим так называемое двустороннее преобразование Фурье, которое применимо к двусторонним функциям времени, т. е. функциям, существующим как при t О, так и при t < 0. [Такое двустороннее преобразование Фурье было нами, в частности, использовано в формуле (3-21).] При этом условием применимости двустороннего преобразования Фурье является абсолютная интегрируемость функц1ш х (t) в интервале времени от - оо до -- оо, т. е. условие

+СО

\x{t)\dt.<oo. (6-9)

Другими вариантами преобразования Лап.ласа являются преобразование Карсона и преобразование Хевисайда. Преобразование Карсона отличается от преобразования Лапласа тем, что в формуле прямого преобразования (6-3) перед интегралом, вводится мноялитель S. Преобразование Хевисайда представляет собой частный случай преобразования Карсона, когда начальные условия для функции X {t) и ее производных являются нулевыми.

Приведем выраясения изображений Лапласа для некоторых элементарных функций:

6(1)

--1(0 sin

Л (S)

S -j- а

Изображение производпо!! L [/ж (01 = s>X (5) - [(0)5 -! + ж(0)/-2 + X (0)5-3 + . (0)],

(6-10)

где X (0), х (0), х (0),..., ж-) (0) - значения ж (/) и ее производных при / = 0.

В частном случае нулевых начальных условий

L[px{t)] = sX (s). (6-lOa)

Некоторые свойства преобразования Лапласа приведены в-табл. 6-1.

Таблица 6-1 Некоторые свойства преобразования Лапласа

Если осуществить прямое преобразование Лапласа над уравнением (6-1), то, учитывая, что обе части этого уравнения представляют собой сумму производных с постоянными коэффициентами,

получим D{s)X{s)==Mis)Fis)-\-MUs). (6-11)

Здесь X (s) = L [х (t)]; F (s) = L [f (t)]. Многочлены D (s) и М (s) отличаются от исходных многочленов D (р) и М {р) только заменой р на S, & М (s) - многочлен, определяемый ненулевыми начальными условиями и в соответствии с выражением (6-10) состоящий из значений производных х (t) при = О, умноженных на коэффициенты многочлена D (р). Отсюда изображение искомого решения

X (S) = +W = И/з W f (.) + W .(), (642)

где Wg(5):

M{s)

D{s) M (s)

передаточная функция замкнутой (при замене р на s);

системы

D(s)

- дробь, определяемая ненулевыми началь-

ными условиями. Для нахождения оригинала искомого решения х (t) но его изображению, полученному в виде (6-12), применяют теорему разложения входящих в (6-12) дробей на простейшие дроби. Для этого предварительно надо придать выражению (6-12) вид рациональной дроби:

Х(.) = . (6-13)

[Изображение F (s) в общем случае может представлять собой дробь. Преобразование выражения {6-12) сводится .н тому, чтобы

освободиться от этой дроби в числителе всего выражения X (s).] В результате в случае отсутствия у дроби (6-13) кратных полюсов получаем сумму

где 5 -пуЛи Н (s); СЩ, причем

Переходя к оригиналу, окончательно получаем

(6-15)

. Как видно из (6-12), в сумме (6-15) часть составляющих обязана своим происхождением нулям D (s), т. е. полюсам Wg (s), а часть - полюсам F (s). Первая часть составляющих соответствует переходной составляющей (t) в общем выражении (6-2), а вторая - установившейся (вынунчденпой) составляющей Жу-

Если дробь (6-13) имеет кратные полюсы, формула разложепия ее, как известно, несколько усложняется и в коэффициенты Cl войдет время t.

Таким образом, применение преобразования Лапласа для решения дифференциального уравнения системы сводится к использованию готовой формулы (6-15), где коэффициенты определяются согласно (6-14) через передаточную функцию системы и внешнее воздействие. Основная трудность здесь заключается в необхо-ди.мостн предварительного определения нулей и изображения Лапласа F (s) для внешнего воздействия / (t).

Первую задачу следует решать с помощью приближенных методов отыскания корней (см., например, работу [5]). Для нахождения выражения изображения / (t) используют таблицы преобразования Лапласа, содержащие выражения для изображения наиболее часто встречающихся элементарных функций. В случае сложной функции / (/) ее предварительно разлагают иа простейшие дроби.

Остановимся па некоторых частных случаях. При нулевых начальных условиях выражение (6-12) принимает простой вид:

Xis) = WAs)F{s). (6-12а)

Таким образом, передаточную функцию можно определить как отношение изображений Лапласа выходного и входного сигналов при нулевых начальных условиях.

В случае, когда воздействие / (t) представляет собой единичный импульс б (i), учитывая, что его изображение Лапласа L [б (t)] = 1, из (6-12а) получаем следующее выражение для изображения весовой функции системы:

L[w{t)]=W,{s), (6-16)

т. е.

(6-17)

Таким образом, весовая функция системы и ее передаточная функция связаны преобразованием Лапласа: передаточная функция является изображением весовой функции.

В случае, когда / (i) = 1 (i), учитывая, что L [4. (it)] = i/s, из (6-12а) получаем следующее выражение для изображения переходной функции системы при нулевых начальных условиях:

L[h{t)fr=.AM, (6-18)

Если в (6-12а) перейти к преобразованию Фурье, подставив S = /со, будем иметь известное соотношение

Х(/со) = 1Уз(/со)/(/(о), (6-19)

где Из (усо) - а. с). ч. х. системы, определяющая связь между частотными спектрами на выходе и входе системы.

Выражения (6-16) и (6-17) при переходе к преобразованию Фурье дают следующую важную связь между весовой и частотной функциями:

WA]i))\w{t)e-dt (6-20)

(6-21)

В случае, если мы получим в результате решения дифференциального уравнения системы или другим способом переходную функцию (или весовую функцию) системы, реакцию системы на воздействие, по-другому изменяющееся во времени, можно далее найти с помощью интеграла Дюамеля согласно формулам (1-29) или (1-30).

Эту операцию можно выполнить и приближенным графическим построепием, заменив истинную функцию ]{t) ступенчатой и построив искомый процесс как сумму реакций на эти ступеньки.

Если известна переходная функция системы для воздействия, приложенного в такой точке системы, что соответствующая передаточная функция не имеет пулей, т. е. в уравнении (6-1) М (р) = &д, по этой переходной функции легко получить переходную функцию для воздействия, приложенного в любой другой точке. Действительно, положим, что нам известна переходная функция (t), соответствующая уравнению

D{p)x=boi{t),

(6-22) 143

ii требуется определить переходную функцию h (t) для уравнения с другой правой частью, содержащей нули:

D{p)x = (bo + b[p + bp +...) 1 (О (6-23)

Dip)x= b;i (О + Ь[Г (О + ЬЛ (/) + ...

(6-23а)

Решение (6-23а) в этом случае можно > выразить через /i (t) следующим образом:

/г(0 = /го(ОЧ-/г(0 + /г (0 + --.,

(6-24)

т. е. оно получается как сумма функции hg (t) и ее производных.

Решение (6-24) моя?ет быть легко получено, в частности, путем графического дифференцирования характеристики (t).

В случае, если к системе одновременно приложено несколько воздействий, соответствующий переходный процесс надо строить на основании принципа суперпозиции по составляющим, вызванным каждым воздействием в отдельности, с последующим суммированием.

§ 6-2. ПРИБ.11ИЖЕННЫЕ ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

Графические методы построения переходных процессов основаны на применении частотных и переходных характеристик. Основное применение для линейных систем получили частотные методы построения переходных процессов.

По формуле (6-8) обратного преобразования Фурье

(6-25)

где,согласно (6-12),

X (/(0) = W, (/ ) F (/ ) + И/ (/О)).

Это выражение определяет переходный процесс через частотные функции системы п внешнего воздействия.

Однако,- как бььто уяче отмечено, область применения выражения (6-25) ограничена случаями, когда х (t) является абсолютно интегрируемой функцией, т. е. удов.летворяет условию

\\x{t)\dt <оо. 6

Это условие выполняется у всех устойчивых систем для переходной составляющей ж (t) процесса, которая является затухающей функцией времени, и, следовательно, интеграл от нее всегда конечен.

Рассмотрим задачу построения с помощью частотных характеристик по (6-25) переходной характеристики

/г.(0 = /г,-сх (0 + Лп(0,

где в общем случае /гу () =/г(оо) 0.

Согласно вышеизложенному, форму.лой (6-25) моя;но выразить только переходную составляющую

/ (/,) = Л(0-Л(оо)

функции h (t), так как в общем случае функция h (t) не является абсолютно интегрируемой.

В соответствии с (6-18) изображение Лапласа h (t) равно .

Поэтому изображеппе Лапласа hn (t) = h (t) - h (oo) равно

M =lM. Следовательно, s

(0 = MO - .-(CO) = X 5*7> - =

- 00

2n J /со

где ТУз (0) - f/з (<), так как \\ (0) = 0.

Принимая во внимание, что h (оо) = (0) = (0), находим следующее выражение для переходной функции:

МО = +4 ii Hi<MLffl,i da,. (6-26)

Подставив в (6-26) выражения

W, (/со) = С/з( )-Ь/Уз ((0); giw == cos cof-f / sin со/,

получим

h \t) (0) -f - [3 (( ) - U3 (0)] sin Ш -f 1/3 (6)) cos Ш

- 00

i f [Uq ((0) - u3 (0)] cos сог - Кз (cj) sin ш

2ji J co

Второй интеграл равен нулю, что следует уже из того факта, что h (t) является действительной функцией. Часть первого интеграла

4 М .£;.(0,