так что

кег,(г)±гке1,(-г) = е Kze * ),

her, {z) = - kei, (z), hel, (2) = -1- ker, (2).

Для наиболее важного случая v = 0 индекс у знака функции опускается: Ьег(г:), bei(2), her (г), hei(), ker(2), kei(2). Разложения Ьег(г), bei (2) в степенные ряды таковы:

... bei(2;) = -2iJ + ...

z* z* ber(2) = 1 -2145 + 2*4*6*8

Если порядок V действителен и аргумент z = x принимает действительные положительные значения, то все функции Кельвина действительны

120 W0 80

30 40 20 О 20 40

Рис. 157 и 158. Функции Кельвина Ьег, <*) и bei (jc).

<рис. 155-162, таблицы 58 -62). В окрестности jc = 0 имеем:

Ьег(х)=1, Ье1(д:)=, her(x)<-1, hei(x) -ln,

а для jcl, xv справедливы представления {выписаны лишь первые приближения):

Ьег (х)-

her(.)-/Arvsin(- + f).hel(x):.-/. -*cos( + f ).

0,5 OA

-0,1 -0,2 -0.3 -OA

о

5 б

-л-.

Рис 159 и 160 Функции Кельвина her (jcj и hei \Х}.

0,010 0,008

0,006 0.004 0,003

-0,002 -0,004,

/ *

Рнс. 161 и 162. Функции Кельвина her, (jc) и hej, (ж).

3.2. Дальнейшре представления и свойства функций Кельвина получаются \i6 (федставлений и свойств функций (z) и М (г). Правила дифференцирования:

Ьет(г)±/Ье1(г) = е * [Ьет, (г)±/Ье1, (г:)],

her(5;)±rhei() = e * [her, (.?)±ihei (ir)]. Для действительного лг>0 имеем:

У (хУТ) = у (л;е~ ) = (-1) [Ьег (х) - i bei (х)], lt\xVl)m\xf ) = ( -1) [her (>:) - hei (x)];

в частности,

y,(.vVT) = ber (JC)-ibei (x), f4*(JcKl)= -her (jc)+/hei (x), 1 [Л (JKO] = -ViJ, (VT) = ber (X)-I bei (x), (xl/ 7)] = -VJ (xK 0 = -her [x) + hei (ЛГ).