6.4. Теорема умножения:

ft=o

в случае, когда Z. = J, к может быть произвольным; во всех остальных случаях должно быть 11 - А,* I < 1.

6.5. Фор лы интегрирования:

J Z, {z) dz = 2+ Z,, (г), Iz- * Z, (z) dz-z-- - Z, . (2). 5 Z, (.г) rf;? = - Z, (z), 5 ;Z:Z, (ir) d: = zZ {z),

J j(e P ),r-!] Z(az)ZAf>z)dz =

= P0 Z (a;?) Z,., - а.гг Z , (u;?) Z, (рг) -f (ц - v) Z (a:) Z , ({te).

J if Z (a) Z (Р-гг) </г - ------.

J z IZ,(аг)]* dz = {\Z{az)V -Z , (a)Z+, (а;г)Ь

fl/ v/ Z , (аг) Z, (azj-Z (аг) Z . (az) Z(az)Z:(cg) j -Z( i:)Z,<az)d = a-i-j;,----t,+v

7. Некоторые обыкновенные дифференциальные уравнения, разрешимые в функциях Бесселя*).

(Р -) = о, да Z,(р;г); г, + да+(р* + )да = 0, да = 0 Z,(pг):

+ [(Py~T-()] =0. w=z,(p): -h + (р-) w=0, да== Z, (Р;г); + 1даЧ-(1-)да = 0, w=Z,(2);

(1+5)да=Ь, wZ,(iz)\ да + -1-даЧ-(/ --) = 0, = Z,UVT):

да да

) Более подробный список уравнений, разрешимых в бесселевых функциях, найти в книге Э. Камке, Справочник по обыкновенным дифференциальным уравневиаи. Физматгиэ, - Прим рео.

w -\-w -

w -\--w-{-mew = Q, w = Z{Vmze 2);

w + (me *+ и; = 0, = / Jz, {Утге

w = 0,

+ (i-T2/) a, -(p±f) w = 0, = e±i-Z, (4;

j г

, 2v-1 . W--

-2и)и;+1 - + и -u --)да = 0, w=e Z{z)\

+ - + (4 + -)-ш-h-i te; = 0,

та; = Л 1У, (ir)] +5/, (г:) Л/, (z) + C[/V, (г)) = (г); 3(l-a) (-w + 3a( -l)4pY.T-. +

+ (°1!~ 4 4p4 (Y -a) -) - 0, = z*Q, (Pz);

4-2 , (V-l)(v-2) b*

w +

--- .да

= 0, ге = г MZ, (к 2) + Z, {ib Vz)\i

4v-2 , (v-l)(2v-l) b*

= Kz [Z,(&z2) + Z,(t622v)l;

в. МОДИФИЦИРОВАННЫЕ ФУНКЦИИ ВЕССЕЛЯ

6. МОДИФИЦИРОВАННЫЕ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ

1. Олределения и обозначения

В приложениях часто играют роль бесселевы функции, рассматриваемые вдоль прямых, npoxoafljihx через нулевую точку (arg г = const). Поэтому выгодно видоизменить> эти функции поворотом системы координат так, чтобы действительная ось совпала с вышеупомянуiой прямой. Два наиболее важных случая соответствуют поворотам на 90° и 135°; для соответствующих модифицированных (видоизмененных) функций употребляют специальные обозначения.

При повороте на 90° получаем бесселевы функции /, (г:), /С, (г); при повороте на 135° получаем функции Кельвина Ьег, (г), bei(0), her, (г:), hei,(:), кег(2), кец(г).

2. Функции /,(г), Кг)

2.1. Повороту на 90° соответствуют функции Бесселя Z{iz). Они являются решениями дифференциального уравнения

(2* + v*)a = 0.

Рис. 144. Поверхность модифицированной функции Бесселя /, (дс) над плоскостью действительных переменных v, х.

Исходя из функций у, (г:) и I\z), определяют модифицированные функции

Ьесселя *)

A,()=-2

l\ze )=-f

Л1 -Т

При этом 1.. {Z) = / {z), (г) =/f,(2) и для нецелых v

K,{z)

2 sin vя

[I Az)-I,(z)l

*) Первую из них иногда называют функцией Бесселч мнимого аргумента, а вторую- функцией Макдональда или модифицированной функцией Ганкеля.-Прим. ред.