4,3. Формулы Никольсона дают хорошие приближения для целого порядка

4 \х - v ,

\ = пх>1 и положительного аргумента х при условии ---- 1, а также для

больпгах и произвольно малых \х-v\. Если положим (рис. 124, 125)

J г{х)± Ух {X) =

©(л:)

-(х) HV{lx) = iQ{x)

(где ф действительно), то получим*)

/ (х)=-8ф(2(л-л:)8), где е = -1/. для я > JJx)B{2{x-n) 8).

-N (jc):e2)(2(jc--n)e),

где 6

, для X > п.

4.4. Формулы Ватсона дают хорошие приближения для произвольного

порядка vl н положительного аргумента х в той же области, что и формулы Никольсона, но справедливы без ограничений на величину \х - v]. Употребляя те же обозначения, что и в 4.3, получим для х < v

jjx)e[w*), где m= = v( ,Arth ,)

с ошибкой, не превосходящей gVCtp-Arthai). д ддд j(;>v

-f- [® (-W*)cOS9-f ©Jwj 51Пф iV,(x)=S=-- 8 (yW*) ЗШф -Ф yW*) СОЗф

(X) Т Ф (iw)] 1 .

гле w==Yx*jv*-1, ф = у (-й -w/S -aKtgw), с ошибкой :24/v.

4.5. Формулы Лангера дают при произвольном vl асимптотическое

представление, которое выполняется равномерно в интервале О < х < оо. Употребляя те же обозначения, что и в 4.3, и положив

(х).

1 (X) ± л (X) = I /-д . j где (X) = е * У, (е х),

получим для X < V

л (х)УТ (vwX). -л/, (X) УИ <В* iVwK),

/4, (X) = е (е * v ;X),

*) См. также W. Schobe, Acta math., т. 92 (1954), стр. 265-307.

.fi м I м м 11 м м м I м ми м м м м

0 t г J 4 S 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Ряс 124 функции Бесселя У , (л), JV , (л), Я*,Ч*) = Л, e v

Рис. 125. Функции ix)J (X) vi. Xi = KJ , (jc)-

И для л: > V

arctg--3- + ---...

Ошибка будет порядка -ly=L.

5. Нули

5.1. Нули бесселевых функций, за исключением может быть г - 0. все простые.

Функция J(z) имеет для произвольного действительного порядка v бесконечно много действительных нулей, которые расположены симметрично

Рис. 126. Нули jg функций J..{x): величина -v как

функция V.

относительно z = 0. Положительные нули, расположенные в порядке возрастания, обозначают через

Л, 1 Л, ? > Л, д> Для v>-1 все нули будут действителыш (рис. 126-128, таблицы 48-51).