Бели X, 3F-не целые, то множители/из этих формул можно получить интерполированием

4.2. Ряды Лебая дают ягимптотические представления бесселевых функций для больших значений порядк- или api ументт. В следую цих выражениях пусть V везде будет положительной действительной величиной.

Через ®( ) обозначим формально построенный ряд

г, , , , 1 / 1 5v*\ , ЬЗ/ 3 77v* , 385v*\ ,

ЬЗ-5/ 5 1521V* 17017v 170l7v

8* \2w mw TW 486a!; ; T

Если ОТ-Й член этого ряда записать в форме

) у с (Y

ЬЗ... (2/я-1) (За )

то имеется рекуррентная формула

Сг, -ь, = (2;n + lHUl) t(2-°. + (2fe-H)C Л = жЧ-2я + 2.

В практических вычислениях следующие ряды должны быть оборваны на том месте, начиная г которого их члены перестают убывагь.

а) Пусть аргумент z = x положителен, действителен и меньше, чем порядок V. Если положить

то npHl<s<::v, v*<:5* (практически может быть 5>6, s>2, 5v*/*)

*> J. R. Airey. Arch. Math. Phys., т. 20 (1913), стр 240 - 244; т. 32(1914), стр. 213 226; .i- л ..л.

Эти же множители/в удобной форме найдены Эри*) дг, у целые, ~4 -

Ь) Пусть аргумент z = x положителен, действителен и больше, чем порядок V. Если положить

s = x - v\ 9 = ,s~varctg-l-, e{/5) = e,{5)~i(S,(s), то получим для 1<S, v*<s*

S. л/, {X) =i {S) sin - % {s) COS (p.

0,2 -

Рис. 122. Функции Бесселя и Неймана при х = \ и jc = v-f 1. с) Пусть аргумент Z - iy чисто мнимый и > 0. Если положить

то получим для \<S, V*<5*

- vn - (v-t-O я

d) Пусть аргумент 5г=г* , где r>0. Если положить:

s* = v*--r*, cos2a=v*/s*, откуда г* = v* tg 2а = 5* sin 2а, cos2p=tga= /;, gd2a = 2p, откуда j = cos2p, = ch2a--а, z( = ctg2p--p -л;2

xiii. функции Бксскля (цилимдриихкиЕ функции)

(а = 0 при а = 1,0327 и v = 0 при р =0,3415), то получим для l<s, v*<s

±vu+i

Дляг<2у имеем Z, = 2y для г > 2v имеем = v * 2У,.

Если аргумент z мало отличается от порядка v, в частности, если z = x действите-ч н.1 и \x-v\ сравнимо с v4 то указанные выше приближения

SO WO

500 WOO

5000 WOOD

Рис. 123. Функции Бесселя при x-v и x = v-M для больших значений v.

непригодны. Для случая \х-v/v.<l Дебай дал другие представления. При x=vl имеем (рис. 122, 123):

Л), г TiiO.8946146368 / , 1 \ , .THLf0,0117385770 /- , 1213 N

v(v)==? -ТГ--V Й625;

0,4473073184/, 1 \ 0,0058f92885, 1213 \

Л-7;- - 225;--т;;-V шУ*

, , . 0,7747590021 /, 1 \ , 0,0101659059 / , 1213 \ -iV,(V>=--т-1, 225; +- 1, -14625;

Так же получаем *) приближенные выражения для производных по аргументу z:

/ X ±Т 0.8217003878 / . . 23 \ . 0.1789229274 / 947 \

X(v)

947 \

0.4108501939 /, ,23 \ 0.0894614637/ ,

/1 V +ЗГ5У V 69300л;

0,7116134100/. , 23 \ , 0.1549518004 / , 947 \ v(v)===--ij;-V+3l56j+--i-69lomr*j-

1 Более подробно см. F. Emde, Z. Angew. Math. Mech.,t. 17(1937), стр. 324-340; т 19 (1939), стр. 101-118; Р. Beckmann und W. Franz, там же, т. 37 (1957), стр. 17-27.