Рис. из. функция Неймана iV, (х), v=0, 1, 2, 3, 4.

Рис. 114. Функции Неймана NAx). v = 5, 6, 7, 8. 9, 10, 11, 12, 13.

А. ФУНКЦИИ ;БЕССЕЛЯ 1-ГО, 2-ГО И 3-ГО /РОДА

Для действительного vO поведение Nz) при \z\<\ описывается формулами

(v>>0).

Для действительного порядка v функции Неймана от действительного аргумента дгО будут действительными функциями N{x); N{x)--О при х->-4-оо (рис. 113, 114, таблица 47).

Рис. 115 и 116. Рельеф функции Ганкеля Н (z); z~x-{-iy=re ,--<ф< .

Линия ветвления-вдоль отрицательной действительной полуоси.

2.3. Функции Ганкеля И(г), Ji(z) (бесселевы функции 3-го рода) определяются как . .

Hi{z)J,{z)\iN,{zh. Ii(zyr=j{z)-iN{z),

190 xm. функции бесселя {цилиндрические функции)

что для нецелого v эквивалентно

Из определений следует, что

(г) = U,{z)-ini, {z) = iHi, {z) -iJ {z) = Y {г) -{z)],

2У , (г) = еМ (2) + e-wM (2), (z) = еЧ {z), H:Uz) = e-Hi iz), - (2)=М(г), Cz) =

Функции Ганкеля многозначны; послеj обходов вокруг точки ветвления z = Q получим:

/Л (етт г) smm-Dvn si

sinvji sinvjt целое!

(е-- = -1 Я</> (Z) + + ();

в частности, для целого v =

г) = (~ 1 ) [(4-(г)],

\e z)\~\r{{z)-\-2mJ {z)].

В отличие от У,(ггу И Л,(г), функции Ганкеля действительного порядка v принимают комплексные значения для действительного аргумента хЬ>0. Роль функций Ганкеля в приложениях заключается в том, что они-единственные из бесселевых функций которые обращаются в нуль при бесконечных значениях комплексного аргумента (рис. 115-120), а именно: $, (2)-когда мнимая часть аргумента положительна, Hv{z)-когда она отрицательна:

lim M (Qe) = 0, lim v*(Qe- ) = 0 для 0<ф<я.

2.4. Бесселевьг 1функции порядка v = -4-y (л = 0,НЫ,..-) являются элементарными функциями (рис. 108, таблица 44):

\ cos;

{п = 0, 1, 2, ...),

, (2) = (-l) +V , iz),

t% +- -П--

Ип\ > Г,г) - 1/ А У / in + k)\ J

В частности.

iz) = / sinZ, N{z) - /А cos Z,.