порядка V имеем представление

/ 1) V/ V/ l L?J I

0!r(v + l) l!r(v + 2)2!r(v-)-3) 3! r(v + 4)T~ * *

причем J- {z) = J.(z). Можно записать:

- целая функция от z (рис. 102-105, таблица 42).

Функция У, (2) многозначна, если v не есть целое число; после т обходов вокруг точки ветвления z=0 получим: J(e z) = e J.{z) (т-целое).

Функции 7,(2) любого положительного и целых отрицательных порядков отличаются от всех остальных. бесселевых функций тем, что они остаются

Рис. 102. Функции Л, (х).

конечными при Z- 0. при \z\-4\ для фиксированного порядка vO имеем *1риближенно: s ,

Если v = n-fi где 1, Q<;ii<; I, то

Г (т + т)-fe + 1) / 2

Г(* + 1)

(1Г . f.W-SrWrf

*=в *= ,

Отсюда получается поведение У ,(г), v = /i-f-T]>-0 при J2<1:

r(m + k + iy

О 10 iQ 30 40 50 60

Р 1С. 103< Беличина л д ак функция квадрата половины аргумента.

/ Действ/шЕлюа Рис. 104. Рельеф функции Бесселя J{x-iij).

При 121 < 1, V > О справедливы также приближенные формулы: Jo{z)fJ,(z}f~, Jy{z){JAz)f (vM=0).

Рис. 105. Карта горизонталей рельефа функции Бесселя J{x-\-iy\

Для действительного порядка v функции Бесселя от действительного аргумента х> будут действительными функциями У,(х); J{x)->0 при х->.-f оо

(рис. 106-111, таблицы 43-46).

2,2. Если порядок v не есть целое число, то функции Неймана N.(z) (бесселевы функции 2-го рода) определяются как

N,{z)==

sm vrt

[JJZ)C0VK-J{Z)],

-0.S-

Рис. 106. Функции Бесселя (!к) и (х).

а если порядок есть целое число v = rt, то

N {z)= lim Nz)-

(рис. 112). При целом индексе справедливо представление

.(.,=..(. ? 1(1)=(1-Г(:+)-

-К1) (тГ <- .. 2.....)

(Y-константа Эйлера) и Л/ (.г;) = (-1)*Л (г:). Для произвольного v имеем