(Гейне)

(t3 = -i-ln, ctht3, = 2r; arg( *-1) = 0 для lz>l).

gH = (irjg [arg(.--l) = 0 дли ,..> 1].

б. Частные Зйа<;ев я. Асимптотика 5.1. Имеют место следующие равенства:

PM=-h Р (-1)=(-1Л Рп+гоу-о, - p, (o) = (i) i%JH . А-о, Q (G)(-iH j;f .

lim I Q (X) I = оо, lim Q. (г) = оо. .

ДГ-* +1

5.2. Все нули полинома *Р (х) действительны;-. различны и лежат в интервале- 1<;л;,<;1. Нули полиномов Р {х) и Р +, (х) разделяют друг друга. Присоединенная функция (z) имеет точно п-т простых действительных нулей в интервале - 1 < х < 1 Функция Q {х) имеет точно п-\-1 нулей в интервале - \<Cx<Z\. : \\

5.3. Для j 2 j 1 получаем в первом приближении

Лл-. )1 (2г) r< -f-3/2)

Г(/г + 1/2) у- {п+т)1 Ь 2)л*( 1)

(22) +

5.4. При еОя-8 (8>0) имеем для 1, ласимптотическое представление

Q,(<:osd) У [(l-l )cOscp+ cdsifl<p] . где ф=я---д + -, И для л1, пЩ>т,

где ф=(,+1.) +.

6*Функциональные уравнения. Нормированные функции Лежандра

6.1. Имеем Правила изменения знака аргумента:

Рп (- х) = {-1) Р (X), QJ X) (- 1) + Q (X),

Р(-a:)=:(-1) - P(x), , :q;?(-x) = (-l) + +VQ (х). Эти уравнения остаются верными, если заменить Р через и Q через Q.

6.2, Теорема сложения. Пусть а означает расстояние между лвумя точками на единичной сфере с координатами (б, ф) и {6, ф):

тогда

cos а= cos cos + sin О sin cos (ф -ф);

Р (cos а) = />. (cos ) Р (cos + JTi К (cos (cos Ь) cos m (ф -ф>

?P (cosa)= Х /(cos)/(cosr)e <>P-P>,

где -нормированные функции (см. 6.6). 6.3. Соотношения между Р и Q ( и £1):

(n-l)i ,P , + + Р (1-a:*)[P Q;-,Q P;]=1,

Здесь у всех функций аргумент х.

Все равенства останутся верными, если заменим х через z и Р через , Q через D.

/i? J0 40 50 60 79 SO SO

Рис. 92. Производные по в- от функций Ленсандра 1-го рода PnCcosO).

6.4. Пусть, далее, К означает любую функцию Лежандра, а именно, Kf{x) означает Р {х) или Q (х), {z) означает (z) или (гг) и означает {х) или АГ (г). Аналогичные значения имеют Кп {х), Кп {г) и /С. В следующ,их формулах вместо можно положить д: Или z.

, -I

+ 1 +1

J Р{х)РГ{х)йх = 0, если /:л, [P(x)]Vx = 24rrJ-S

-1 -1

Отсюда получим нормированные функции Лежандра (рис. 93-96):

( + )! да)!

Далее,

+1 +1

J P2(A:)pi(x)y = 0 для /w, 5 [р;(х)Гх==л(л-Ы),

(2я +1) I [D. Wl- =5ту.+...,

1

(2я + 1) J [Q (a:)]* dx = ...

Справедливы рекуррентные формулы:

+ (л -1) *Г .-(2л - 1) АГ , - 0.

С* (Z) + 2 (/ +1) :р=/С М:гг)-(л-т) (я + +1)/С (г) = О, СЧх)-2(да+1)-р==./С(а;)+ (л+ +(x) = О,

(2л +1) g/C-(й -/ +1) <Vi -(л + да)= 0.

6.5. Дифференциальные уравнения:

(Г -1)- л (g/C -/С ,) - - (я +1) (/С -Г +Л

(Г-1)Ю-(л- + 1)+. + { +1)КГ = 0.

Положив x = cosd, получим производные по d от полиномов Лежандра P (cosd) (рис. 92, таблица 40):

dPn.Aco, Щ -g ) (2я +1) Р (cos Щ sin Ь

и, в частности, ддя низших индексов:

dP,(cos ) dP,(cos< ) dP,(cos) 3 -.-пол

-W--- --g-sint?,

dP,(COS*) /; - A . 15 . j dP.(COsfl) . a,35 .ja . а.

-- = - 6sind+Y sind, ---5sm 2й + 5ш*05ш 2d,

--- = --15siad + -sin*d--g-sm*d,

= I Sin 2d +f sin d sin2d-f s.V d sin 2d. - -28 sin d +189 sin* dsind + sind.

6.6. Соотношения ортогональности:

+1 +1

J P,{x)P,{x)dx==Q, если ln, J [P (x)]dx = ,