2. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА 1-го И 2-го РОДА

где {Z} означает полином:

n-M)-Z тРт-гКг)Р .т\} 1.2.3...п г + \3 2(2п-1)У т=1

, /1 1 п(п-1) . д(п-1>(я-2)(н-3)\ , 1

\,5 ~Т2(2п-1) 2.4.(2/1-1)(2п-3) i

Если я четное, то оканчивается на члене с 2*, если п нечетное -

на члене с г-.

0J ОЛ 0.3 ОЛ 0,5 0,6 О/ 0,8 0;9 1.0

Рис. 91. Функции Лежандра 2-го рода 0 (jc).

Если обозначить значения {z) на верхнем и нижнем краях разреза - 1<л;<1 через D (jc + 0-i) и D (j: -O-f), то

, (х) = ф { Q (jtf4-О-г)-h-£i (х-О./)},

njx±Q-i) = Q{:X)mP{,xb

Для I г I >> 1 справедливо разложение

; г (n-f 1)(/ 42) 1 ,

eW -1.3.5...(2rt-f 1) \ 2 + 2.(2n4-3) г +

(/2-f-l)(n-h2) (n-f3) ( +4) 1 , I 2-4-(2я+3)(2я-Ь5) г + - f

Для действительного аргумент! л;=со8д, 0<:д<:я, можно получить тригонометрическое представление ;

Q (COS ) = 2 3.5;; +1) { + < + ) +

,. ЬЗ. (/1 + 1) (/1-1-2) ., I

+ 1.2.(2/г4-3)(2п+5) + 5)д+ . . .

Функции Лежандра 2-го рода низших индексов (рис. 91, таблица 41):

Q, (x) =1 In = Arth X, <?, (x) = Р. (x) (x)-1x +1-, Q,{x).= xQ,{x)-\, Qj;) = p(x)QJx)-f х + х.

Q,(x) = P,ix)Q,ix)-x, . QAx) = P,{x)Qoix)- Соответствующие выражения для С1 (.г) получаются при замене Arth х на Arcthz.

3, Присоединенные функции Лежандра 1-гр и 2-го рода

3.1. Присоединенные функции Лежандра 1-го рода на основании предположений, сделанных выше, определяются при - 1<;х<С1 или при x = cos-, 0<€<к, как

Р (x) = (1 -х) *> О-Л .п d P (COS Щ Более подробно

pn,f... /1 л>.Т 1 ул-т {п - гп){п-т~1) t , .

W -2 i( - m)! 2-(2л1)

(я-т) {п - т- 1) (га -т-2) (n-m-3) 2-4.{2п,-1)(2л-3)

пт/.,х (п + /п)> л . 1 (п - т)(п + т + 1) 1-х

W-2 i( ;,j)H*-J> -j 1- 1.(4-1) 2~ +

(я-т)(я -m-l)(n-fm-H)( -bm + 2) П-(

i.2.( -f-i)(/n+2) V 2 ; I

В частности, Р (х) = (1-х*)~ = 1-З.. .(2л-1) (1-х*) .

Присоединенные функции Лежандра 1-го рода низших индексов:

/ (х) = (1--х) =-sind, Р(х) = 3(1-x*)x=-sln2d, (х)= 3 (1-х) = I (1-cos 2d),

PI (х) -1 (1 - х=)(5х= -1) = - (sin d + 5 sin 3d), Р/(х) = 15 (1 - х*)х = (cos d - cos 3d),

Р; (x) = 15 (t -х*) = (3 sin d-sin 3d).

pjjc) = I (1 -х*)(7х*-Зх) = j (2 sin 2d Ч-7 sin 4d),

PI {X) = (1 - X*) (7x ~ 1) = [g (3 -f 4 cos 2d- 7 cos 4d),

p (x) = 105 (1 -x*) * x = (2sin 2 d -sin 4d),

P; (x) = 105 (1 - x*)* = (3 - 4 cos 2d -- cos 4d).

P (cosd) = -V

(0<*<я).

COS<p - COSd J у COSO - С08ф

KcOS<p -COS d

(Мелер)

() = J (г + к?-Т cos ф) cos /шр ац> [arg(2r*-1) = 0 для 12:1 > 1}.

SD ( )=yJrf (Нейман)

-I ...

В комплексной плоскости, разрезанной между точками -1 и при-

соединенные функции Лежандра 1-го рода определяются как

() = (2:* 1)#.

Представления для {z), соответствующие приведенным выше формулам для Р{х), получаются, если заменить в этих формулах повсюду (1 - jc*) через (г* - l) * и X через z. Значения (г) на верхнем и нижнем краях разреза связаны соотношением

3.2. Присоединенные функции Лежандра 2-го рода определяются при

- 1 < JC < 1 или при X - cos й, О <; б <; я, как

а в комплексной плоскости, разрезанной Между точками -1 и

Для 1 г I > 1 справедливо разложение

чт2 я(я + т>1 , ,\ f 1 ,\п + т + \) {п + т+2) 1 I

\) - К Ч (2л4-1). . Ч 2(2и+3) +

Далее, для значений tl{z) на краях разреза выполнены равенства Q%{x)==-{ e~Slix-bO-i-i-e si(x--Q-t )),

Часто в литературе функции (-\) Р(х), (l)*Q(x) обозначают через Pn{x)j Q(x) и называют присоединенными функциями Лежандра.

4. Интегральные представления

( ) = - г--- = f {z±yz* - l cos<р) d(p, (Лаплас)

я J (г±>г*-ио8ф) + л} . ч-/ V