Отсюда следует, что функции

е H (z)

(рис. 85, 86, табл. 37) ортогональны и нормированы на всей прямой:

Т го

J 9 (Jc)9 (jf)rfjf=l

для тфп, для т = п.

-0.6

0,2 0.Ч 0,6 Ofi ifi Ц Ut 1А W 2fl и It

Рис. 85. Функции параболического цилиндра ф (jc).

Рис. 86. Функции параболического цилиндра ф

с. полиномы эрмита (функции параболического цилиндра) 163

Полиномы Эрмита низших степеней:

H{z) = 2z, H(z)=l6z~48z-hn,

{z) = 4гг - 2, Я. (Z) - 32г* - 160.г + 120.г.

Полиномы Эрмита тесно связаны с функциями параболического цилиндра D{z). Функции D{z) удовлетворяют дифференциальному уравнению

Иг*

где V -параметр. Для целых значений параметра v = = 0, 1, 2, ... имеем:

л г

т. е. введенная выше функция Если определить

0 (г) = К !У2Т (г).

то функции Ч (дс) (рис. 87) будут ортогональными и нормированными на всей прямой:

для тп.

для т=п.

Функции Пд(2г) допускают интегральное представление (которое также имеет место и для произвольного параметра Vt -1, - 2, ...)

- 00

При ar[-► оо получаем в секторе -~6axgz-б (6>0) асимптотическое представление

D2Wf> Wl я(я-1) . п{п-1){п~2){а-3) \

U {Z)-e z-\\ + -2Г(2?р