Космонавтика Форма неполных интегралов 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 [ 47 ] 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 в. ПОЛИКОМЫ ЛАГЕРРА
Таблица 36. Функции Лагерра / (л;)
! 1 ( )
! jW
0.00
+ 1.0000
-1- 1.0000
+ 1.0000
+ 1.00С0
+ 1.0000
+ 1.0000
0,10
0.9512
0.8561
0.7657
0.6800
0.5986
0.5216
0.20
0.9048
0.7239
0.5610
0Л150
0.2848
+ 0.16 2
0.30
0.8607
0,6025
0.3830
0,1 84
+ 0.4505 (-1)
-О.в033 -
0.<0
0.8187
0.4913
0.2292
+ 00402 (-
-0.1323
0.1(68
0.50
+ 0.77ве
4- 0.3894
4 ft973S(-
-0.1136
-0.2576
- 0.3470
0.7408
0.2963
- 0.1482 (-
0.2193
0.3397
0.3953
0.70
0.70(7
0.2114
0.1092
0.2975
0.3866
0.403
0.80
0.670S .
0.1341
0.1877
0.3521
0.40S1
0.3826
0.90
0.6376.
+ 0.6376 (-
0.2519
0.3867
0.400
0.3400
1.00
+ 0.60(5
0,0000
- 0.3033
-0.40U
-0.3791
-0.2830
1.25
0.5353
-0.1338
0.3847
0.3917
0.2745
-0.1121
1.50
0.4724
0.2362
0.4133
0.3248
0.1365
+ 0.549 {-
1.75
0.4169
0.3126
0.4038
0.2291
- 0.2239 (-
0.1865
1.00
+ 0.3679
-0.367
-0.367
- 0.1226
+ 0.1226
+ 0.26 в
2.25
0.3247
0.4058
0,3145
- 0.1775 (-
0.2148 .
О.Э043
0.286S
0.4298
0.2507
+ 0.776Ot-
0.27S3
0.2958
2.75
0.2528
OMIS
0.1817
0.1587
0.М4
0.1541,
3.00
+ 0.2231
-0.444Э
- 0.1116
+ 0.2231
+ 0.3068
+ 0.1897
3.25
0.1969
0.4431
-0. Э07(-
0.2702
0.2857
0.1123
3.50
0.1738:
0.4344
+ 0.2172 (-
0.3005
0.2466
+ 0.3091 (-
3.75
0.1534
0.42J7
+0.в147(-
0.3151
0.1949
- 0.4742 (-
.00
+ 0.1353
-0.4060
+ 0:1353
+ 0.3158
+ 0.1353
- 0.1173
4.25
0.1194
0.3882
[
0.1П
0,3045
0.7218 (-1)
0.1750
4.50
0.1054
0.3689
0.3040
0.2833
+ 0.9058 (-2)
0.2185
4.75
0.9301 (-1)
0.3488
0.2587
0JS41
- 0.510 (-
0.2467
S.00
+ 0.8208 <-1)
-0.3283
Ч-0.3873
+ 0.2189
- 0.1060
- 0.2599
Ч).7244(-1)
0.3079
0.3101
0.1794
0.1541
0.2591
0.6393 (-1)
0.2877
0.3276
0.1172
0.1943
0.2*57
S.7S
0.5642 (-1)
0.2680
0.3403
0. 359{~1)
0,2259
0.2217
+ 0.4979 (-1)
-0.248
+ 0,348$
+ 0.4979 (-
-0.248
-0,1892
0.3020 (-1)
0.1812
0.3473
- 0.1107
0.2605
-0.1540<-
0.1832 (-1
0.1282
0.3114
0.2259
0.1771
+ 0.1453
0.1111 {-1)
0.8887 (-
0.2611
0.28
- 0.5138 (-1)
0.2311
+ 0.6738 (-2)
- 0,6064 (-
+ 008
-0.3077
+ 0.7412 (-
+ 0.2313
0.4087 (-2)
0.40в7(-
0.1614
0Л956
0.1745
0.1667
0.247 (-2)
0.2727 {-
0.1215
0.2652
0.1*04
+ 0.6792 {-
0.1503 (-2)
0.1804 {-
0.894S(-
0.2265
0,2727
-0,3в 3 -
0.9119 (-3)
0.1185 (-
0.6474 (-
0.1863
0.2775
0.1185
+ 0.3355 (-3)
- 0.5032 (-
+ 0.3254 (-
-0.1160
+ 0.236S
-OJ383
0,1234 (- 3)
0.2098(-
0.1567 (-
0.66S2 (-
0.1711
0.2549
0.4540 (-4)
0.8626 (-
0.7309{-
0.3597 (-
0.1114
0.2164
0.1670 (-4)
0.3507 (-
0.3324 (-
0.1860 <-
0.6726 (-
0.1600
0.6144 (-5)
0.1413 (-
0.1481 (-
0,9284 <-
0.3835 (-1)
0.1076
+ 0.2260 (-5)
- 0.5651 (-
+ 0.6487 (-
-0.4503 (-
+ 0Л>90(-
- 0,6747 (-
0.8315 (-6)
0.2245(-
0.2802 (-
0.2133 (-
0.1099 (-
0.4006(-
0,3059 (-6)
0.8871 {-
0.1196 (-3)
0.9908 (-
0.5 в7-
0,2276 (-
0.1125 (-6)
0.3489 (-
0.5053 (-
0.4524 (-
0.2790 (-
0.12 7(-
вД140(-7)
0.1366 (-
0.2116 (-
0.2036(-
0.1358 (-2)
0.6629 (-
1,(х)
0.00
+ 1.0000
+ 1.0000
+ 1.0000
+ 1.0000
+ 1,0000
0.10
+ 0.4487
+ 0.3798
+ 0.3148
+ 0.2535
+ 0.1958
+ 0.6725 (-1)
- 0,2207 (-1)
- 0.9967 (-1)
-0.1664
-0.2232
- 0.1808
0.2S92
0.3180
0.3597
0,3865
о. о
0,3257
0.3748
0.3990
0,4027
0,3900
0.50
-0.3926
. -0.4037
-0.3881
-0.3527
-0.3032
о;во
0.4021
0.3735
0.3204
0.2519
0,1751
0,3710
0,3058
0,2220
0.1302
-0.3851 (гЛ)
0.80
0.3128
0.2173
0.1120
- 0.8407 (- 2)
+ 0,8548 (-1)
0.90
0.2383
0.1205
-0.3837 (-2)
+ 0,1002
0.1849
1.00
-0.1558
-0.2455 (-1)
+ 0.9340 (-1)
+ 0.1879
+ 0.2541
+ 0.4653 (-1)
+ 0.1742
0.2587
0.2979
0.2959
1.50
0,2008
0.2828
0.301S
0,2679
0.197S
1.7$
0.2856
0.2992
0.2456
0.1503
+ 0,3811 (-1)
2.00
+ 0.3025
+ o.2ai
+ 0,1320
+ 0.298S(-2)
-0,1137
2.2S
0.2646
0,1456
+ 0,5606 (-3)
- 0.1285
0.215$
0.1897
+ 0,3093 {-1)
- 0.1176
0,2170
0.2522
2.75
+ 0.9541 (-1)
- 0.7816 (-1)
0.2032
0,2522
0.2270
3.00
- 0.2789 (-2)
- 0.1666
-0.2474
- 0.2368
- 0.1562
0.9298 (-1)
0,2258
0.2502
0.1816
- 0.6085 (-1)
0,1669
0,2530
0.2176
01016
+ 0.3842 (-1)
3.75
0Д197
0.2497
0.1589
- 0.1196 (-1)
0.1243
4,00
-0.2496 Й
-0,2204
-0.8464 (-1)
+ 0,7366 (-1)
+ 0.1867
0Д571
0,1713
-0.5254 (-2)
0.14(8
0,2183
0442 р
0.1093
+ 0.7024 (-1)
0.1947
0.219
4.75
0Д14*
- 0.4123 (-1)
М34*
0,2101
0,1923 .
5.00
-0,1716
+ 0.2671 (-1)
+0,1835
4в.2210
+ 0.1442
0,1199
0.8936 (-1)
0,2138
0.1997
0.8217 (-1)
0,6336 (-1)
0.1427
0.2250
0.1606 *
+ 0.1429 (-1)
5.75
-0.5728 (-2)
0.1841
0.2179
0.1087
-0.5207 (-1)
+ 0,4979 (-1)
+ 0.2120
+ 0.1949
+ 0.4979 (-1)
- 0.11
0.2066
0,1905
+ 0.9683 (-2)
- 0.1586
0.1990
Ода02
+ 0.3274 (-1)
.-0,16(0
- 0.1931
-0.6481 (-1)
+ 0.1198
-0,1296
0.2020
-0.6441 (-1)
+ 0.1174
-0,2321 (-1)
-0,2082
-0.1098
+ 0.9967 (-1)
+ 0.1886
0,1454
0.1844
+ 0.3506 (-1)
0,1873
+ 0.1183
12 5
0,2117
~ 0.8846 (-1)
0.1521
0.1631
- 0.2268 (-1)
1J ~
i 0Л49
+ 0.3166 (-1)
0,1786
+ 0.5896 (-1)
0.1410
, -0.1670
0.1340
+ 0.1629
- 0.6478 (-1)
0.1790
+ 0.1528 (-2)
+ 0,3036
-0.2679 (-1)
-0,1840
- 0.3108 (-1)
0,1547
+ 0.1080
0.1759
- 0.7642 (-1)
+ 0.1506
0.2317
-0.4623 (-1)
0;1738
+ 0.9904 (-1)
+ 0.1465
0.2373
0.1679
- 0.6068 (-1)
0.1830
- 0.2839 Ь-З)
0.2012
0Д239
+ 0.7588 (-1)
0.1400
0.1383
+ 0.1513
- 0Д231
+ 0.1744
+ 0.2391
-0.1767
0.1043
0.1892
0.2162
- 0.9606 (-1)
-0.1081
0.6740 (-1)
0.1442 .
(СЗИЭ
0.1771
+ 0.4628 (-2)
0.4132 (-1)
0.1015
0,1795
0.2089
0.1101
0Д428(-1)
0.6715 (-1)
0.1382
0,2014
0.1777
с. полиномы эрмита (функции параболического цилиндра) 151
С. ПОЛИНОМЫ ЭРМИТА (ФУНКЦИИ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА) Полиномы Эрмита являются решениями дифференциального уравнения
где п = 0, 1, 2, ... Именно,
Я (г)=(-1) ей(е-Л.
Я (5:) = 2 г -2 -(5)г -* + 2 -. 1.3.(3).-*-2--ЬЗ-5.(2).г -*Ч- ..;
- - f Z \
Вместо Hj{z) часто рассматривают полиномы 2 H \ :p==j , называя их также
полиномами Эрмита *).
Полиномы Эрмита связаны с полиномами Лагерра соотношениями
H,{z)={ - \)m\Lr;\z\
Нгт+г () = ( -1) 2* +/й! zL {z).
Производящая функция:
Рекуррентные формулы:
-2 ,.,W.
Теорема сложения:
2/ (х + .) = 1:(а )я,(У2)Я .,(У2-),
/8=0
Все нули полиномов Эрмита действительные и простые. Для действительных значений аргумента г ==л; полиномы Эрмита действительны и на действительной оси выполняется соотношение ортогональности
T.-*,(A:) (x)dJc = si,.- , Р - .
