Частные значения:

Т (1) = 1, Г( 1) = ( 1) , Г, {0)==(-1Г. Г, .,(0)=0,

функции Т (х) действительны при всех действительных значениях аргумента Z-X (рис. 80-82), а функции (J{x) - при -lx + l. На этом отрезке выполняются соотношения ортогональности

I я . - I о .

О , если тфп.

если т==пО,

если т=и=0.

Справедливо важное равенство, следующее из определения:

7 (cos0) = cos/i0.

Среди всех полиномов й-й степени с единичным старшим коэффициентом полином 2 -1 в-*) выделяется тем, что он меньше всего уклоняется от нуля на отрезке - 1 х = +1.

0,т 0J3SS 098

,Рие. 82. Полиномы Чебышева / (л), л=10, П, 20.

Полиномы Чебыщеванизшйх степеней:

T,{z) = z, T{z) = 2z* - \ T,{z) = 4z*-Sz, T,{z) = Sz* - 8z + \, T(z)= \&z - 20z + 5z,

U,{z) = 0,

U,iz) = V\-z\

iz) = V\ -z2z, U,{z) = V\-z [4г ~1], U,{z)=V\-z [82:-41, U, {z) =y 1 -z - 12.2 + 1].

в. полиномы ЛАГЕРРА 147

в. полиномы ЛАГЕРРА Полиномы Лагерра являются решениями дифференциального уравнения

где я = 0, I* 2, а а-произвольное комплексное число. Именно *),

В частности, L,{z) = 1 (z) = i-(fj + (2) ft- + < Производящие функции:

n=0 n=e

Рекуррентныеформулы:

= (2я + a-1-2Г) U 2, (г:)~ (л Ч-a-1) (-г)у

Теоремы сложения:

. сч.+.)=e.i: * (Л).

*.=о

Если параметр а действителен и 3> - 1, то все нули полинома Х{?*(г) простые и являются действительными положительными числами.

Если параметр а действителен, то для действительных положительных значений аргумента z=x функции LJ, * (д:) будут действительными. Если, кроме того, а>--1, то выполняется соотношение ортогональности:

0 при тфп,

прит = п.

Для функций 1{х) = е (рис 83, 84, табл. 36) получае!м, следова-

тельно,

+ 09

JfO при тфп, n()<i=l при т = п.

Полиномы Лагерра низших степеней для а=0

l,{z)=l, l,{z)=\-Zz+z-z,

Ljz) = \z, t,Jz)y-4z + Зz+z*

L{z\\2z+\z\ Z., {z) = 1 + 52: + 2:* - z\

Рис. 83. Функции Лагерра /д(дг), n=U 2, 5.

О 0J5 1 1,5 $ 2,5 S ; iS 4 4.S S Рис. 84.TФункций Лагерра / (л), n ==6. 7, .;..10.