-QiVy yc) = 2q* {cosnv-\-qcos3jiv-{-qcos5nv-\-.. .)= 2

n= -

{V, Ч) = 1 + 2 (g cos 2nt; -f .9* cos 4nv-g cos 6nt: +...)= S

(v, x) = 1 - 2 (9 cos 2Я-0 -q* cos 4яг; 4- 9* cos 6лг -...)= 2 Xfijfe,

Здесь q = e~°, a под / понимают однозначно определенное значение * * i можно также представить q - e*, где х = х.-\-ix - Ы {х>).

Если параметр х фиксирован, то вместо д (г/, х) пишут сокращеннов (г ). Функцию {v) обозначают также через #(у) или {v). Тэта-функции являются целыми трансцендентными функциями.

Логарифмическими производными, по v будут:

1 4/1пз(0)

2я dv

1 d\n{у) i In dv )

1 dlnd, , I .

1 d in 1

2л du 2

-,-sin 2я;о , sin4ti sin бяо ,

~~ sh ях * sh 2ЛК sh Зяк т

sin 2яо , 2 sin4яt 3 81п6яр ,

sh як о*гл# I ~г

sh 2ях

sh Зях

2. Частные значения 2.1. Нули тэта-функций данц в таблице (/ , л-целые числа)

2.2. Значения тэта-функций &(v) и их производных (г) по г? при = (>

обозначаются без указания аргумента: 9 (0) =0 ; Gn (0) =й . Имеют место формулы:

о; = 2л;* (1 -39 -Ь59* - 79 +...), -ft, = 1 + 2? + 2?* -f 2* +

. 1-3V+5Y-... ог g-b4*-t-V-t-...

~ \-f-2<?+2<?*+2<7--..-v

3. функциональные уравнения

8.1. Тэта-функции удовлетворяют соотношениям симметрии

3.2. Тэпга-функции являются периодическими функциями: для 0 ( ) и (t ) период равен 2, для и &(v) равен I. Если обозначить

то следующая таблица показывает изменение б-функций при сдвигах аргумента tf и их связь между собой:

3.3. Обозначим для краткости

1 Jie> Ч

Тэта-функции как функции т и х следующим образом изменяются при переходе от одних значений аргументов v,.x к-другим: : , ь

*4 l)

4 (и,. И,)

fsiO. >t) X)

YlGtiv, X) X)

f*4(f. X)

Gs(f. X) r,(o. X)

VTCfl-,i . X) VI(o. X)

3.4. Тэта-фуНкЦйи являются решениями дифференциального уравнения в частных производных ,

4. Связь с эллиптическими функциями и эллиптическими интеграламм.

Модулярная функция

4.1. Между модулем k и отношением ;.[- соответствующих нормальных

14 (Я)

форм полных эллиптических интегралов существует соотношение, которое с помощью значений .тэта-функций в нуле записывается в виде

* =-, где д=е =

Функцию k*~%(x), получаемую после подстановки т = = т,itj в правую часть, называют эллиптической модулярной функцией (рис. 72-74). Для 11 <1 получим:

в таблице 33 тэта-функции & (2w) и их производные даны прямо как

функции а (/г = sin а) (рис. 75-78).

Первые члены рядов, определяющих в-функции, дают приближенные значения, которые могут быть вычислены с помощью таблицы 35 и таблицы тригонометрических функций. Соответствующие поправки даны во вспомогательной таблице 34, которая допускает линейную интерполяцию.

Вычисление q для данного модуля k (рис. 79, таблица 35) может быть произведено посредством соответствующих нормальных форм интегралов К, К (таблицы 29, 30). Соответствующие значения q получаются и непосредственно из ряда

9 = 8 -I- 28* -Ь 15е + 1508* + 1707е + ..., 2е=- = Ь- (Л = sin а. ft= cos а).

4.2. Нормальные формы полных эллиптических интегралов могут быть представлены через значения тэта-функций в нуле, причем величина q для

данного модуля k должна быть вычислена согласно 4.Ь Для k*<~ приближенно

J p j JJ 14-У + 25?*4-..- , .

4 2 К К (l-b2?-f-2?*+...)(l-4?-hV-...) 1Г~Л~Ц {\ + q + q-..,Y{\~2q-2q-.,.)

Если ft*>j, то найдем q для модуля ft и положим -1п = Л. Тогда при соответствующих значениях тэта-функций

. = \К

- 2 л 2 я ,7