Космонавтика  Форма неполных интегралов 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 [ 18 ] 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112

VI. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ И РОДСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ

1. Интегральная показательная функция и интегральный логарифм

1.1. Интегральная показательная функция

Ei{z):

определяется как

где путь интегрирования должен быть взят от z до. оо так, чтобы вдоль него

ига argt - , и Re оставалась ограниченной справа. Функция

li(x)

UEi(-x)

Рис. 26. Интегральная показательная функция и интегральныйЛогарифм.

Ei (z) является бесконечнозначной функцией z с единственной конечной точкой ветвления z -0. Значение этой функции после т обходов вокруг точки ветйления определяется формулой

Hi (ze ) Ei iz) + (да.= 0, ±1, ±2, ...)

[т. е. циклическая постоянная функции Ei(z) равна 23ti]. Выполняющееся при гФО разложение в ряд

Ei iz) = С-Hi Z + 2-

(С- постоянная Эйлера) указывает на логарифмическую особенность в начале координат, [Иногда употребляются обозначения

Е1.+ .(д;) = емсч-ю), Е1-(д;)=.Е1(лг-/0)л

Действительная ветвь функции Ej (z) получается при z = - х, где д; - дёйствйте;1ьная положительная величина (рис. 26, 27, таблица 15):

Ш(-д:) = С + 1пд:-нХ(-1) ;-



Иногда рассматривается функция Ei* (г) = Ei (г) НгШ, которую обозначают также через Е1 {z). Ее действительная ветвь получается при действительных положительных значениях аргумента г = л (рис. 26, 27, таблица 15);

Ei*(jc) = C4- Inx-f

n.nl n=i

Действительные ветви обеих этих функций допускают интегральные представления:

- X

Ei(-x)- J ~dt,

- 00

где второй интеграл по нимается как главное значение в смысле Коши:

г -8

8 -1

>

iooo

2000

Рис. 27. Функции Ei*(x)H Li (jc). При xl получается слеДуюпХая асимптотика: Ei( x)~(l-~4--+...), Ei*(x) .-(l+--f3 + p+...j.. При л; > 2 справедлива приближенная формула:

Ei (- л) = 10,9999965 - 0,9989710 у + 1,9487646 - 4.9482092 р -}-

+ П.7850792-20,4523840 4-21,1491469-9,52404l0-i-±0,35-10-.

[При малых д;, как видно из разложений,

Ei (д:)яи ЁИ - Д?) In Y

(у - постоянная Эйлера).]

U2. Интегральный логарифм определяется как

Он связан Ч Ei(z) соотношениями

li() = Ei.(ln?), Ei(z) = \l(e% ;

В частности, для действительных положительных значений аргумента гг = л; можно определить действительную функцию (рис. 26, 27):

Г \Цх) =Ei(lnjc) приО<д;<1, Li(x) = <!

\i{x)-]-ni = Ei*{\nx) прил:>1.



Таблица 15. Интегральные показательные функции Ei* {х} и -11 (-х)

} е.*{ж)

-еч-х)

1 Elw

-Ei{-

El <x)

-Ei(- )

+ 0.

+ 0.

+ 0.

0.00

- оо

+ оо

0.50

4542

+ 318

5598

+ 1.8951

21938 + 72

4.0179

4,0379

4870

5478

2,1674

18599 573

3,3147/

3.3547

5195

5362

2,4421

15841 457

2,8991

2.9591

5517

5250

2,7214

13545 Д6

2,6013

2.6813

5836

5140

3.0072

11622 300

0.05

- 2.3679

- 387

+ 2.4679

+ 387

0.55

6153

+ 314

5034

+ 3,3013

+ 100

10002 + 247

2.1753

2,2953

6467

4930

3.6053

08631 204

2,0108

2,1508

. 201

6778

4830

3.9210

07465 170

1,8669

2.0269

7087

4732

4,2499

06471 142

1,7387

1,9187

7394

4636

4,5937

05620 120

0.10

-1,6228

- 99

+ 1.8229

+ 99

0.60

7699

+ 303

45U

+ 49541

04890 + KM

1.5170

1,7371

8002

4454

5.3332

04261 8*

1.4193

1,6595

8302

4366

5.7326

03719 n

1.3287

1.5889

8501

4280

6;1544

03750 62

1,2438

1,5241

8898

4197

6.6007

02844 S3

0.15

- 1.1641

- АЛ

+ 1.464S

+ *4

0,65

9194

+ 194

4115

+ 7.0738

+ 292

02491 + 44

1.0887

1.4092

9488

4036

7,5761

02185 Я

1,0172

1.3578

9780

3959

8.1103

01918 .34

,0.9491

1.3098

0071

3883

8,6793

01686 29

0,8841

1.2649

0351

3810

9.2860

01482 IS

О.20

- 0,8218

- 24

+ 1,2227 + 23

0.70

0649

+ 187

3738

+ 9,9338

+ 446

013048 + 231

0.7619

1,1829

0936

3668

10,6263

011494 192

=0.7042

1.U54

1222

3599

11.3673

010133 67

0.6485

1.1099

1507

3532

12.1610

008939 145

0,5947

1,0762

1791

3467

13.0121

007891 127

0.25

- 0.5425

- К

, сл.

+ 1,0443

+ 16

0,75

2073

+ 282

3403

+ 13.9254

+ 675

006970 + 111

0.4919

+ iU

1.0139

2355

3341

14.9053

006160 97

0,4427

0,9849

2636

3280

15.9606

005443 85

0.3949

0,9573

2916

3221

17.0948

004820 .74

0,3482

0,9309

3195

3163 .

18.3157

004267 65

0.30

- 0.3027

+ 0.9057

- 241

0.80

3474

+ 178

3106

+ 19.6309+ 1023

003779+ 57

0.2582

0,8815

3752

3050

21.0485

1112

003349 SO

0.2147

0.8583

4029

2996

22.5774

1209

002969 44

0.1721

0.8361

4306

2943

24.2274

13)4

00263J 39

0.104

0.8147

4582

2891

26.0090

1*19

002336 Э4

0.35

- 0.0894

+ 401

+ 0,7942

- 197

0.85

4857

+ 77S

2840

+ 27.9337+ 1355

002073 4 30

0.0493

0,7745

5132

2790

30.0141

11,91

001841 27

37

- 0.0098

0,7554

5407

2742

32.2639

18*0

00163S 23

+ 0.0290

0.7371

5681

2594

34,6979

1003

00145J 21

0,0672

0.7194

5955

2647

37.3325

2180

001291 1

0.40

+ 0,1048

+ 370

+ 0.7024

-145

0,90

6228

+ 773

2602

40,1853 + 2373

001148 + W

0,1418

0.6859

6501

2557

+ 85,9898

3601 <-3)

0,1783

0.6700

6774

2513

191.505

1155 (-3)

0.2143

0.6546

7047

1470

440,380

3767 (-4) .

0,2498

0,5397

7319

1429

1037.88

1145 (-4)

0.45

+ 0.2849

+ 346

+ 0,6253

- 139

0.95

7591

+ 773

2387

1492.23

4157 (-5>

0.J19S

0,6114

7854

2347

+ 6071.41

1400 (-5)

0.3537

0,5979

8136

2308

14959,5

4751 (-6)

0.3876

0,5848

8407

2269

37197.7

1622 (-6)

0.4211

0,5721

8679

2231

93192,5

5566 (-7)

0,50

+ 0.4542

+ 0,5598

1.00

8951

2194

234956

1918 i-7)

+ e.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 [ 18 ] 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112