А, ГАММА-ФУНКЦИЯ T(Z)

(В -числа Бернулли). Для действительного г: = д;>О ошибка, получающаяся при обрывании ряда, меньше первого отброшенного члена и имеет знак этого

9 8 7 б

70 60 50 40 30

Q Ю го 30 40 so 60 70 80 90 100

Ряс. 23. функция Г (л) для больших х.

члена (рис. 23). Отсюда следует формула Стирлинга:

Я(г) 1 +1-Ь28к* ~51840г 2488 320z*

Имеет место представление

ш(р ~(г + 1)0~840 (?~(2 + 1))

Для чисто мнимого ziy, у1 имеем Г(/3 ) = Ае**, где

~+(1пз, -1) -3go -12ббР?~1680 / ll88tf.

2. Частные значения

Г(1)=:1, Г(2)=1, Г(й) = (л1)!=-1-2.. .(й -I) (л = 3, 4,...): Точка -п -простой полюс, вычет в этом полюсе равен (й = 0, 1, 2,...)

Г Ц) = ]/ я = 1,772 453850... , Г ( -у) ==~-2/я,

Г С/з) = 2,678 938 535 = 1:0,373 282 174, r(j,) 1,354 117 939 =-1:0,738 488 112, Г (*/з) = 0,892 979 512 = 1:1,119 846 522, Г {/,j = 0,902 745 293 =- 1:1,107 732 167, rc/j = 3,625 609 908 = 1:0,275 815 663, Г c/J = 1,225 4i;6 702 1:0,816 048 939, Г = 0,906 402 477 = 1:1,103 262 651, Г (Vj = 0,919 062 527 = 1:1,088 065 252. г1л 1/-- 1-3.5 ... (2/г-1)

Ч -h 2 * 1.3.5...

min Г (д:) = Г (1,46163 ...) = 0,88 560 .,.

3. Функциональные уравнения ЗЛ. Рекуррентные формулы:

Г(+1) = 0Г(2),

г (г + Д) = 2: (.?-м ) ,.. . (Z + 1 ).Г (2!)

Г(2: -1) = Г(), (/г=1, 2, ...),

(2-1)(г-2) ...(г-л) 3.2. Формулы дополнения:

Г()Г(-2) = -=, Z sin яг

Г(1+г)Г(1-г) = ;,

sm Я2

Если полояСйть (л = 1, 2, ,..)

Pi,z) = -z{\-z){A-z)...[(n-\f-~zl

ео(2)=1,

А. ГАММА-ФУНКЦИЯ Г {z)

то справедливы.равенства (л==0,1, 2 .,.)

Г (л+ 2) Г (л-2:)==

-яР (г) г sin яг яг

Г(- + г,Г(- -,= р--,у,

г( +1+.)г(.+1-.)=. г (- +1+.) г (- + = -iji, .

Для чисто мнимого г - г у выражениз в правых частях этих равенств будут действительными и означают квадрат модуля каждого из двух комплексно-сопряженных множителей, стоящих в левых частях.

3.3. .Формула умножения:

rwr(.+i)...r(.+ -=i) = i/(-2i

в частности, при л = 2 получаем формулу удвоения

Г(22) = -р!=2 -Г(2)Г(гч--).

4. Некоторые интегральные формулы

При условии Кег>0, Rew>0 имеет место равенство

Интеграл стоящий слева {интеграл Эйлера \-го рода) называется бэта-функцией -а;); приведенная формула позволяет находить значения бэта-функции через значения гамма-функции. .

Далее, споаведливы следующие формуды:

(1 + 0

f-dt

Л m n}

Г{г)Г(уа-г) /Reгг > Re.2 > 0, Г(ш) у atgt.0

ii) /e®>0, Re2>0; nf largf = 0, л= 1,2, .. . )

. , rt - 2, 3, ...),

(m = l, 2, -..),

51пф СОЗф й?ф:

r(a-f l)r(P-f 1)

(Reu>-i, Rep>-1).