8. поЬеДенйе функций - в- комплЕКСной Плоскости

0<jt<45°, Q<y<oo, 0</<I. 0<x<90°

(Cm. таблицу 11)

8. Поведение функций в комплексной плоскости

[Схемы, приведенные на рис. 16 и 17, описывают поведение тригон(*-метрических функций комплексного аргумента при его постоянной мнимой части и гиперболических функций-при постоянной действительной ч<и.ти аргумента.] - . ... - ...................

sin г

eosz

3ctffz

T

a5=x ok

sfiz

3tfiZ

r St

SOthz t

as T

Рис. 16. Поведение тригонометрических функций от х- +гу в четырех квадрантах или октантах при постоянном у.

Рис. 17. Поведение гиперболических функций от 1/ + д: -у в четырех квадрантах или октантах при постоянном у,

V. ГАММА-ФУНКЦИИ

Определения и обозначения

Гамма-функция Г (z) определяется как решение функционального уравнения Tfz-\-V=-zr(z), где Г(1) = 1.

Она является мероморфнои. функцией от z = x-\-iy с простыми полюсами в точках z = - л (л = 0, 1, 2,...). Из всех аналитических решений этого уравнения она выделяется тем, что для действительных положительных значений

-4-3-2 -I / 2

Рис. ]8. Рельеф гамма-функции V (z).

аргумента zx она положительна, действительна и удовлетворяет неравенству

: {Г(х}Г<Т{х)Г{х),

которое выражает ее логарифмическую выпуклость (рж. 1822, таблицы 12, 14). Логарифмическая производная от Г(z) обозначается через

У- dz Г(г)

Для этих функций употребляют также другие обозначения:

Определение неполных гамма-функций Г (а, z), у (а, z) дано в С.

4 Е. >1)1к . амде. Ф. Леш