Представление о вязких и тепловых волнах, быстро затухающих при удалении от колеблющейся поверхпостп тела внутри я<идкости и обладающих дисперсией, очень важно для большого круга задач физической акустики. Аналогичные процессы необходимо учитывать, в частности, в задаче о поглощении звука, распространяющегося вдоль твердой стенки (что имеет сущестсенное значение в теории звукопоглотителей), в теории акустических течений, в явлениях, связанных с динамикой газовых и паровых пузырьков, находящихся в акустическом поле, и т. д.

§ 4. Законы подобия. Безразмерные числа в гидродинамике

Представление о наиболее характерных особенностях движения жидкости часто можно получить, не решая задачи, а зная лишь значения величин нескольких безразмерных чисел -специальных комбинаций физических параметров.

Впервые безразмерные числа были введены при рассмотрении вопроса о подобии течений. В гидродинамике часто приходится проводить эксперименты с моделями и потом уже полученные данные переносить на реальные тела. Прос1ые рассуждения, основывающиеся на уравнениях движения для описания двух течений с различными гидродинамическими параметрами, приводят к тому, что для вязкой несжимаемой жидкости, когда отсутствуют внешние силы, а также внешние поверхности, два течения подобны, если, кроме кинематического подобия (т. е. геометрического подобия и подобия поля скоростей), для этих течений равны числа Рейнольдса. Число Рейнольдса Re=pu Ti=u v (где / - характерный масштаб движения, например радиус трубы при движении в ней жидкости, v - скорость потока и v - кинематическая вязкость) играет очень большую роль в гидродинамике и акустике, и далее нам часто придется иметь с ним дело. Если необходимо учитывать наличие внешних сил, например силы тяжести, то в добавление к числу Re оказывается необходимым ввести также еще число Фруда Fr=v/lg, и тогда два течения подобны, когда, кроме кинематического подобия, числа Re и Fr обоих течений равны. При учете сжимаемости жидкости в рассмотрение необходимо включить еще число Маха М=и/с, где с - скорость звука в жидкости. Если учитывается теплопроводность жидкости, появляется безразмерное число Прандтля Pr=r\Cp/K=r\/p%=v/%, представляющее собой материальную константу среды, не зависящую от свойств потока.

К необходимости введения этих чисел можно также прийти, если провести оценку различных членов в уравнениях движения и переноса тепла. Так, число Re получится, если взять отношение конвективного (нелинейного) члена в (2.6) 2 ел к члену, характеризующему вязкость 2вяз:

гвяз 4vfP - т) (-

Число Fr получится, если взять отношение конвективного члена в уравнении (2.6) к члену, характеризующему внешнюю силу /, например силу тяжести, которая на единицу массы равна просто ускорению свободного падения g:

4-L.i!!£!Zi = 4l = Fr. (4.2)

2сил PoS Ig

Если воспользоваться уравнением переноса тепла (2.9) и взять отношение теплового конвективного члена Zko b=x v7 к члену, характеризующему теплопроводность жидкости (газа) Z.j=%T, то получим число Пекле Ре;

равное произведению числа Рейнольдса на число Прандтля. Здесь Г = Г~Г .

Нас в дальнейшем будут интересовать акустические волновые процессы, поэтому оценим по порядку величины отдельные члены в уравнениях Навье - Стокса для акустических колебаний в жидкости. В этом случае характерным масштабом длины, на которой могут происходить заметные изменения гидродинамических параметров, будет, очевидно, длина волны X; характерным масштабом времени - период звуковой волны (со - частота звука);

характерной гидродинамической скоростью - колебательная, или акустическая скорость v. Тогда

2 ел/2вяз ~ Poi>-/ 1 = Re, . (4.4)

Как видим, это отношение представляет собоГ/ число Рейнольдса для акустического случая (так называемое акустическое число Рейнольдса). Когда Re3 >l, т. е. 2 д>2в з, становятся существенными акустические нелинейные процессы, а при ReaK<l основными являются диссипативные процессы; об этом подробно говорится в гл. 3.

Число RcaK записывают также в виде Яъ=рIbm, где р - акустическое (избыточное) давление и Ь~1у\-{-г(-\-yt,{\lCp-\lCy)- диссипативный член; это выражение, справедливое для плоской акустической волны, получается из (4.4), если воспользоваться основным соотношением для плоской звуковой волны p~vpc (§ 1 гл. 2).

Отношение 2 к инерционному члену в (2.6) - Z=pdvldt:

: -PoiA . i!<L = M3 , (4.5)

ин Ро< о <й А, Со

есть акустическое число Маха, которое уже было введено выше. Отметим, что в акустике даже для самых мощных звуковых волн число Маха не превышает значений 10 -10 (газы, жидкости), и при средних амплитудах смещений =Уа/со--10~*-10 число Мак~10~-10 Число Маха в акустических задачах всегда считается малым параметром.

Возвращаясь к процессам теплообмена, характеризуемым числом Прандтля Рг, напомним, что это число представляет собой материальную постоянную. Так, для газов число Рг мало отличается от единицы (для воздуха Ргл;0,73), для жидкостей же это различие может быть существенным. Например, для воды при обычных условиях Ргж6,75, а для ртути РгжО,04. Согласно (4.3), (3.10) и (3.14) число Рг может быть записано как отношение квадрата длины вязкой волны к квадрату длины тепловой волны:

Рг = ед. (4.6)

Поскольку, как было сказано выше, для воздуха (и газов) Рг%1, то Xg}... Для воды Яв 3л и для ртути ХвЛ;0,1>..

§ 5. приближенные решения уравнений

вязкой жидкости при больших

и малых числах Рейнольдса. Пограничный слой

Перейдем теперь к приближенным методам решения уравнений движения вязкой жидкости. Решение упрощается в двух предельных случаях. Первый соответствует задачам, когда велика вязкость среды, малы скорости движения и масштабы движения, т. е. малы числа Рейнольдса Re=u v. В этих случаях члены, характеризующие вязкость в уравнениях движения, гораздо больше инерционных членов, и последние могут быть отброшены. Тогда уравнение Навье - Стокса переходит в линейное уравнение, которое без учета объемной, или второй вязкости т), примет вид

Vp = nv. (5.1)

К числу известных задач, которые решаются в таком приближении, относится задача о плоском течении очень вязкой жидкости между двумя пластинками, о медленном движении малой сферы (задача Стокса) [1-2]. Решение, соответствующее последней задаче, приводит к известной формуле Стокса для силы сопротивления, которую испытывает сфера в вязкой жидкости:

F = 6navц, (5.2)

где а - радиус сферы. Если учесть в уравнении Навье - Стокса те инерционные члены, которые имеют наибольшее значение, то эта формула приобретает вид

/= = 6я11да(1-fVsRe). (5.3)

Член /jRe носит название поправки Осеена.

Другой предельный случай соответствует движениям с большими скоростями в задачах, когда мала вязкость и велики пространственные масштабы, т. е. велико число Рейнольдса.

Однако полностью отбрасывать в уравнениях движения члены, учитывающие вязкость, нельзя, так как решения получающихся