где cl=-ypjp . Полагая =- + -1-... , где 1 - второе приближение, получим решение уравнения (2.1) для первого приближения

, g cos k (L-и)

COS kL

COS (at.

(2.2)

Считалось, что координата поршня й=0, а открытый конец трубы (Имеет координату а=Ь. Граничные условия приняты в виде

Sko = locosco/, {dl/da)a=L = 0. (2.3)

Условие резонанса будет тогда иметь вид

(2nA)L AL = (2rt-1)л/2 ( =1, 2, 3, ...). (2.4)

Из (2.1) нетрудно получить уравнение второго приближения для Н .

Рис. 4.4. Распределение скоростей (а) и давлений (и) в стоячей волне бесконечно малой амплитуды между двумя жесткими стенками через 1/8 периода. Число восьмых периода обозначено цифрами 0-8.

Рис. 4.5. Распределение скоростей (о) н давлений (б) в стоячей волне конечной амплитуды между двумя жесткими стенками через 1/8 периода. Число восьмых периода обозначено цифрами 0-8.

Подставляя в правую часть этого уравнения выражение для из (2.2) и считая, что граничные условия для будут

i:=o = (a7afl). i = 0, (2.5)

получаем выражение для I . Из этого решения, которое из-за его громоздкости мы здесь не выписываем, следует, что, помимо обычных линейных резонансов, имеются еще нелинейные резонансы, при которых не выполняются условия применимости метода последовательных приближений. Эти условия нелинейных резонансов таковы:

/feL = (2tt-1)п/4. (2.6)

В точках, удовлетворяющих этим условиям, оо, а значения конечны. Физический смысл отмеченных нелинейных резонансов состоит в том, что одна из частот, возникающая из-за нелинейности, совпадает с одной из собственных частот резонатора. Если акустический резонатор имеет высокую механическую добротность, нелинейные эффекты вблизи резонансов при внешнем возбуждении могут проявляться при очень малых амплитудах. Для реальных резонаторов, у которых добротность ограничивается потерями на вязкость и теплопроводность, нелинейные явления зависят, как и в случае бегущих волн, от числа Рейнольдса. В [15] показывается, что в качестве числа Рейнольдса для резонаторов в виде слоя, с одной стороны которого происходит возбуждение, а другая сторона механически свободна, можно взять

KQ = kl,kLQ, f2.7)

где Q=aL2 - добротность резонатора, а - коэффициент поглощения среды, о=Уо/(й - амплитуда колебательного смещения.

Пользуясь этим числом, можно заранее сказать, насколько существенными будут нелинейные эффекты вблизи резонансов. При Rel амплитуда колебаний на удвоенной частоте вблизи от линейных резонансов сильно растет как и в линейном резонаторе; т. е. здесь возникают также нелинейные резонансы. При Re<l нелинейные эффекты оказываются несущественными.

Задача о вынужденных нелинейных колебаниях резонатора с комплексным граничным импедансом аналогичным методом рассмотрена в [16].

Хотя метод последовательных приближений и дает возможность найти нелинейные резонансы и определить критерии роли нелинейных эффектов для резонаторов с высокой добротностью, он не может быть применен для задач, где нелинейные эффекты в стоячих волнах достаточно сильно рыражены. Не может этот метод дать ответ и на вопрос о том, каково поведение добротности резонатора вблизи резонансов. В [18, 19] разработан метод для решения задач взаимодействия встречных, достаточно интенсивных периодических нелинейных волн, являющийся обобщением метода медленно изменяющегося профиля.

Это обобщение сводится к тому, что в уравнениях Бюргерса в сопровождающих координатах проводится усреднение по быстро-переменным функциям, описывающим встречные волны (двигающиеся друг относительно друга с двойной скоростью звука и взаимодействующие только на границе).

4 в. А. КрасильникоЕ, В. В Крылов 97

в качестве иллюстрации развитого метола на рис. 4.6 приведен рез\лыат расчета собственных колебаний слоя с двумя абсолютно 01ражающнми стенками (нелинейный резонанс). Показаны стоячие голны колебательной скорости через равные интервалы времени At (1-9)Т 8 при различных значениях параметра Ti=e(iivJ/2Cf,.

Как видно из рис. 4.6, прослеживается эволюция возмущения на одной из собственных частот резонатора при больших числах

Рейнольдса. Рост гармоник высоких номеров приводит к образованию пилообразной волны; узлы скорости, как и в линейном случае, остаются неподвижными, тогда как узлы плотности и пучности давления перемещаются между узлами скоростей, а у колебательной скорости возникает дополнительный узел - бегущий разрыв. Когда разрыв движется вдоль резонатора, то уменьшается его положительная часть, а отрицательная увеличивается и к другому узлу скорости этот разрыв приобретает противоположную полярность. На границах резонатора возникают резкие перепады давления, тем большие, чем круче фронт волны; для нахождения его ширины необходимо учесть процессы диссипации. Этот учет осуществляется при помощи уравнений Бюргерса для каждой из встречных волн. При больших значениях времени ударный фронт постепенно расширяется и стоячие волны снова становятся гармоническими.

В процессе образования ударной волны при собственных колебаниях резонатора увеличивается нелинейное поглощение и добротность резонатора падает. Последняя достигает минимума в момент образования разрыва.

В случае вынужденных колебаний нелинейного резонатора под действием распределенной внешней силы уравнения для прямой f ] и обратной Fi волн сводятся к неоднородным уравнениям Бюргерса, решения которых выражаются через функции Матье [191. Это решение дает возможность проследить, как устанавливаются вынужденные колебания в резонаторе, какова стационарная форма этих колебаний. Потери энергии, возникающие при образовании гармоник из-за нелинейности, компенсируются энергией, отбираемой от источника. Это приводит к стабилизации профиля стоячих волн (рис. 4.5, а). При этом добротность при вынужденных колебаниях, так же как и в случае собственных колебаний, непостоянна;

Рис. 4 6 Эволюция возмущения t/to на одной из собственных частот резонатора в случае больших чисел Рейнольдса при различных значениях параметра, характеризующего нелинейность задачи ri=e<uUo/2co (й), 1 (б), я/2 (в). Расчет проведен для жестких стенок [18, 19] Число восьмых периода обозначено цифрами 1-9