где т] [Па -с] - сдвиговая вязкость н т] - объемная вязкость при объемном расплирении (сжатии). При этом здесь считается, что т] и т] не зависят от координат, а также от давления и температуры, что представляет собой существенную идеализацию.

В вязкой среде тензор плотности потока импульса приобретает вид

Т,. = рг;,Уу + /7б .-ог; (2.2)

где CTfft - тензор вязких напряжений, наиболее общий вид которого дается выражением [11

Отметим, что плотность потока импульса вдоль оси х (случай, соответствующий распространению плоской звуковой волны, о чем будет идти речь в § 2 гл. 2), вызванного внутренним трением, будет, согласно (2.2) и (2.3), определяться таким выражением:

x. = iU4 + 4)dvJdx. (2.4)

Для несжимаемой жидкости выражение (2.3) упрощается: (:iik4idVildx -irdVkldX;).

Уравнение сохранения импульса (1.21) переходит в уравнение

i (PV,) +щ (Pt/t;, -Ьрб, .-or-,) = 0. (2.5)

Если жидкость вязкая, но сжимаемость можно не учитывать, то в уравнении (2.1) (7з11+Ч)уУ=0 уравнение Навье-Стокса упрощается, приобретая вид

+ (tV)t=-(V/7 + Tirf)+/=0. (2.6)

Вязкости 11 и т) определяют в большинстве случаев основные потери энергии звуковой волны. Как уже упоминалось, величину р {Vs)v в (2.6) называют конвективным или нелинейным членом. Соответственно величину Tjy© называют вязким членом.

Естественно, что граничным условием для движения вязкой жидкости вблизи абсолютно твердой стенки будет равенство нулю не только нормальной (как в случае идеальной жидкости), но и тангенциальных компонент скорости, так как частицы вязкой жидкости прилипают к стенке.

Система уравнений гидродинамики существенно усложняется, если учитывать еще теплопроводность жидкости. Хорошо известно, что процесс теплопередачи от нагретого тела к движущейся жидкости происходит значительно быстрее, чем в случае неподвижной жидкости. Обычная же теплопроводность покоящейся жидкости представляет собой процесс переноса тепла из более нагретых мест в более холодные. Этот процесс не связан с макроскопическим движе-чием, а представляет собой молекулярный перенос энергии. Вектор

плотности теплового потока q при этом совпадает с направлением нормали к изотермической поверхности в каждой ее точке и определяется уравнением

= -хуГ, (2.7)

где X [Вт/(м-К)] - коэффициент теплопроводности. Для вязкой теплопроводящей жидкости энтропия уже не представляет собой неизменную величину. Увеличение энтропии описывается уравнением переноса тепла, учитывающим движение жидкости [1]

- 3. 2

dxi: dxi 3 dxi J

+ {Vvf + yVT. (2.8)

Для несжимаемой жидкости, в отсутствие внешних источников тепла, это уравнение упрощается и принимает более простой вид

dTldt-{-{v)T = irT, (2.9)

где %=%1Срр[ы1с\ - коэффициент температуропроводности. Уравнение переноса тепла содержит дополнительно еще две неизвестные величины S п Т. Таким образом, в системе уравнений вязкой теплопроводящей жидкости будет семь неизвестных. Чтобы замкнуть полученную систему уравнений - уравнений неразрывности, Навье -Стокса и переноса тепла,- следует воспользоваться уравнением сохранения энергии

Tds = du-pdp/p\ (2.10)

При этом выражения для энтропии s и внутренней энергии и могут быть получены с учетом свойств среды. Так, например, в случае идеального газа для единицы массы

d = Crfr = d(-), ds = C --R-, (2.11)

и мы имеем семь уравнений для восьми неизвестных (к семи неизвестным добавляется и). Восьмым, замыкающим систему уравнений вязкой теплопроводящей жидкости, будет уравнение состояния.

В заключение приведем выражение для возникающего из-за необратимых процессов внутреннего трения (вязкости) и теплопроводности изменения, (увеличения) энтропии жидкости, занимающей объем V; оно нам потребуется при рассмотрении вопроса о поглощении звука в жидкости. Это изменение дается выражением, которое следует из уравнения переноса тепла (2.8):

+ {diyvydV. (2.12)

Естественно, что последний член этого уравнения исчезает для несжимаемой жидкости, а во втором члене в правой части обращается в нуль третий член в скобках.

§ 3. Примеры точных решений

Дальнейшее применение теории движения жидкости состоит в нахождении решений конкретных задач. Для потенциального движения идеальной жидкости rott =0 и, следовательно, г =уф. Тогда уравнение Эйлера может быть записано в виде

dt 2 ) р

Здесь р - постоянное (в отсутствие внешних полей) значение давления в той области пространства, где отсутствует движение жидкости. Воспользовавшись соотношениями 1 = v- + - Vp(р = = р-ро, ро = const), получаем

+ 4- + ~г)+4-9=0. (3.1)

dt 2 р У р2

В случае адиабатического процесса vp = Vp/c, где с={др/др) - квадрат адиабатической скорости звука. Если теперь в (3.1) положить р==р + р, то приближенно получим

dt 2 Ро 2ptc Без ограничения общности можно записать

При стационарном {d(f/dt=0) движении несжимаемой (с-оо) жидкости имеем точное уравнение

Это уравнение носит название уравнения Бернулли. Его также часто записывают ъ виде

и2-)-р/р = const. (3.3)

Приближенное уравнение (3.2) можно записать в виде (имея в виду, что р=-роф/ЭО

Это уравнение иногда называют обобщенным Сравнением Бернулли. Оно справедливо при условии v<l/x, где I - характерная длина, а т - характерный временной интервал. Например, для акустических задач эти величины имеют смысл длины и периода волны и выписанное условие приобретает вид v<c.

Уравнение Бернулли есть следствие закона сохранения энергии и во многих случаях позволяет получить сведения о потоке, не прибегая к решению самих гидродинамических уравнений.

Из уравнения Бернулли легко выясняется смысл условия несжимаемости стационарного движения жидкости div v=0. Поскольку при адиабатическом изменении плотности Ар=(ф/Э/7)Ар=Ао/с,