Для недиспергирующей среды бСз-С; и это равенство может быть выполнено лишь при условии а=0, т. е. если все три волны коллинеарны. Подчеркнем, что этот вывод относится только к плоским волнам, но отнюдь не к ограниченным пучкам, когда могут играть роль дифракционные эффекты.

Итак, рассмотрим взаимодействие двух квазипростых волн, распространяющихся в одном и том же направлении х. Приведем сначала формулу (с точностью до второго приближения), часто применяющуюся в экспериментальных исследованиях, для случая, когда при х=0 излучаются две плоские волны разных частот coj, ©3 и амплитуд toi, t1,2 [у(л=0, /)=0о1 sin ©i/-f sin ©г/]:

v(x, T) = y,iSin©iT-f-y,2Sin©2T-

sin2©jT-

sin 2© T-

(1.3)

2co 2co

Видно, что, кроме вторых гармоник 2©i и 2© возникают суммарные и разностные комбинационные частоты. В действительности, конечно, возникают гармоники и комбинационные частоты и более высоких порядков. Их можно описать, решив задачу более точно.

Рассмотрим теперь подробнее процесс генерации разностной частоты при взаимодействии двух гармонических волн в диссипативной среде; пусть

У(.1С = 0, Т) =У(,1 COS©iT+fo2COS©2T.

Проанализируем вначале случай, когда Re<l и можно пользоваться методом последовательных приближений. Тогда, полагая v=--v-\rv ... , получим решение уравнения первого приближения (3.3.5) для и в виде

v = v i ехр (- tZpiX) cos©iT + yo2 р (- ах) cos©2T. (1.4)

Подставляя значение u=y-fy -f... , когда и определяется по (1.4), в уравнение Бюргерса (3.3.2) и сохраняя в нелинейном члене составляющие только с разностной частотой Q = ©i-©2, получим уравнение

2роСо

(й? + ©1)х

sinQt. (1.5)

Решение этого уравнения для а с граничным условием и =0

при х-=0 будет

- ехр

Ь (u)i-f шз) X 2ро Со

ехр

PoCosQioiit

sinQt. (1.6)

Видно, что при малых х амплитуда растет пропорционально х и

достигает максимума при

WljfW2 fi2

2соро

6(wf + wl-Q2)

(1.7)

после чего она начинает убывать, 90

При Rel можно не учитывать дисснпативных процессов и решение для у дается формулой (1.3); при этом член, содержащий Q, принимает вид

v = - {eQx)iVj2cl)xs\nQx. (1.8)

Подобным же образом можно решить задачу о распространении а.мплитудно-модулированного гармонического сигнала конечной амплитуды ([1], с. 104)

у = Уо(14-msinQTsincuT), (1.9)

где т - коэффициент модуляции. Волна с частотой а взаимодействует с боковыми частотами co+Q и возникает, в частности, волна разностной частоты со-( +Q=Q.

Рассмотренные задачи о взаимодействии волн играют важную роль в теории параметрической нелинейной антенны, о которой речь будет идти дальше.

К числу интересных проблем относится также задача о коллинс-арном взаимодействии слабого монохроматического сигнала с интенсивной волной; эта волна мол<ет быть гармонической, но может представлять собой и интенсивный шум. В работах [1-4] показано, что такое взаимодействие в среде без дисперсии может быть причиной дополнительного затухания звукового сигнала (поглощения звука звуком).

Проанализируем этот процесс более детально. Рассмотрим при помощи уравнения Бюргерса взаимодействие двух плоских колли-неарных волн, когда они задаются на входе в нелинейную среду в виде

V(О, т) = coscOjT-f Л02cosшх,

где через Л [ и Л., обозначены величины 1 и Уо2- Эти волны взаимодействуют между собой в процессе распространения и рождают целый спектр комбинационных частот - суммарные {(Лх+о) и разностные (coi-соз) частоты, гармоники частот coj и ©а и т. д. На первом этапе исследования следует ограничиться изучением динамики адшлитуд волн только основных частот coi, со а также суммарной и разностной частот. При этом наиболее простые аналитические результаты, дающие согласие с экспериментами, можно получить уже в рамках трехчастотного приближения. Четырехчастот-ное приближение решения уравнения Бюргерса, естественно, дает более точные результаты. Его можно искать в виде

f(x, T) = i-X [Af,ix)expimx) + K.c.], (1.11)

где ft(x)=Sft(x) ехр iiSki)] - комплексные амплитуды, изменяющиеся по мере распространения волн в среде и соз=со1-соз, со= =со1+ 2, а граничное условие задается выражением (1.10). Здесь Bk, - действительные амплитуды и фазы.

Рассмотрим случай, когда coj - слабая высокочастотная гармоническая волна; мощная монохроматическая низкочастотная волна

имеет частоту и а, так что wWi. Задачу можно решать в приближении заданного поля, считая, что Л W=o=const.

Расчеты предсказывают характерные осцилляции амплитуд волн основной и>1 и комбинационной частот с расстоянием, что является результатом интенсивного обмена энергией между волнами. Период этих пространственных осцилляции L или расстояние между двумя последовательными минимумами амплитуд может быть оценено с помощью результатов, полученных в четырехчастотном приближении. Наиболее просто выражение для L получается при t-Real. В этом случае

(1.12)

что хорошо согласуется с результатами численного решения.

Амплитуда слабого высокочастотного сигнала благодаря взаимодействию с интенсивной низкочастотной волной испытывает

значительное дополнительное затухание. Характерно, что зависимость 5i, 62 и 64 от начального сдвига фаз появляется только при условии ©2= = (ui/2 = (ui-(U2 (cOiCOa).

На рис. 4.2 представлена блок-схема установки по исследованию колли-неарного взаимодействия слабого ультразвукового сигнала (12 МГц, 10~ -10 Вт/м) с интенсивными низкочастотными возмущениями в воде [5]. В качестве последних использовался низкочастотный непрерывный сигнал частоты 1 МГц и интенсивностью порядка 10~* Вт/м или интенсивный шум в полосе 600 кГц - 2 МГц с интенсивностью порядка 310~ Вт/м что соответствует среднеквадратичному значению колебательной скорости ~-4,6-10~ м/с. В кювете с водой I размещался низкочастотный пьезокерамиче-ский излучатель 2 и высокочастотный излучатель 3 (пластинка кварца Z-среза). Излучатель 2 возбуждается или с помощью низкочастотного генератора синусоидальных сигналов 5 или с помощью мощного генератора шума. Излучатель 5 возбуждался генератором синусоидальных сигналов 7. Все измерения проводились в импульсном режиме. Модулятор 6 с регулируемой временной задержкой обеспечивал задержку высокочастотного импульса на время, необходимое для прохождения низкочастотным акустическим сигналом от преобразователя 2 до преобразователя 3.

Различные частотные компоненты спектра принятого сигнала изучались с помощью спектр-анализатора 9, на который подавался сигнал, принятый плоским кварцевым преобразователем 4. Для

Рис. 4.2. Блок-схема установки по исследованию взаимодействия слабого высокочастотного ультразвукового сигнала (12 МГц) с интенсивными низкочастотными возмущениями (1 МГц и шумом в полосе 600 кГц - 2 МГц).