можно записать

Из этого соотношения и (4.9) исключим ddt. В результате найдем уравнение состояния для релаксируюш,ей среды, дающее связь между приращением давления р и приращением плотности р в виде (4.6). Интегрируя это уравнение, получим [26]

pdp + mcl J ехр(--)Л, (4.12)

где учтено, что (ф/ф)£ =с1 и (ci-cl)/cl=m. Теперь можно рассмотреть распространение звуковых волн в среде с релаксацией. Для этого воспользуемся линеаризованными зравнениями гидродинамики для жидкости без диссипации и уравнением состояния (4.12); тем самым мы учтем процессы релаксации. Из уравнений непрерывности и движения при (vv)v=0, исключая переменные р и v из этих уравнений и (4.12), получаем волновое уравнение

\ :exp(-)dr = 0. (4.13)

Это волновое уравнение для релаксирующих сред, в котором наличие интегрального члена, как это будет видно ниже, феноменологически эквивалентно учету объемной вязкости г\. Действительно, при выводе (4.13) мы пользовались уравнениями гидродинамики невязкой жидкости, но оперировали с уравнением состояния (4.12), учитывающим процессы релаксации. Отыскивая решение этого уравнения в виде р=Л ехр -kx)], имеем для волнового числа

Поскольку /n=(cL-Со)/с§<1, получаем

Со

, т (их . Ill 1 -,-т , о -г-

2 1 + (flt 2 1 -f (йЧ>

(4.15)

Из этого выражения получим соотношения для с(&)) и (ы) в виде

= o(l+fj, (4.16)

= -2rw- (4.1/)

Вид кривых для с и аХ ъ зависимости от сот изображен на рис. 2.3; эксперимент (см. рис. 2.1) достаточно хорошо согласуется с выражениями (4.16) и (4.17).

,2 3

в проведенном рассмотрении мы имели дело с процессами релаксации, связанными только с объемными деформациями. Если не рассматривать процессов теплопроводности, можно прийти к заключению, что решение волнового уравнения (4.13) учитывает влияние релаксации только объемной вязкости т); в уравнении состояния (4,6) возможная релаксация сдвиговой вязкости не учитывалась.

Воспользуемся формулой (2.12), согласно которой коэффициент поглощения за счет объемной вязкости равен

а, = (o272pc

Приравняем это значение коэффициенту поглощения (4.17), полученному при рассмотрении релаксации объемной вязкости. Получим

ц= (cl~cl)xp!{\+(oV). (4.18)

Мы приходим к заключению, что наличие релаксационных процессов в продольной звуковой волне феноменологически эквивалентно

появлению объемной вязкости, зависящей от частоты.

При низких звуковых частотах (сот<1)

Ц = г\,= {с1-с1)хр, (4,Ш)

где ii не зависит от частоты и пропорциональна времени релаксации т. 1При высоких частотах (сот1)

Ti = (cL-c)p/co4; (4.20)

г стремится к нулю при со->- оо. Как го-

0~1--- ворят, Ti в этом случае отрелаксирова-

ла . Такое поведение объемной вязкости Рис. 2.3. Коэффициент хорошо объясняет частотную зависимость поглощения и фазовая ,

скорость в релаксирую- коэффициента поглощения звука, измерен-щей среде. ную В экспериментах (см., например,

рис. 2.1).

Следовало бы обсудить вопрос о том, не будет ли коэффициент теплопроводности х также подразделяться на два коэффициента. Такое рассмотрение было проведено в [25], где показано, что если учитывается релаксация ц, то релаксацию х учитывать не нужно.

Полезно иметь представление о порядке величин для коэффициента поглощения a V/ за счет объемной вязкости. Для этого приведем ряд значений коэффициента поглощения а из-за действия сдвиговой вязкости Т1 и экспериментально измеренное значение а (поглощение ajf из-за теплопроводности х для указанных жидкостей примерно на порядок меньше, и поэтому мы его не приводим); отличие экспериментально измеренного alf от значения a /jF? следует отнести за счет действия г:

Из приведенных данных видно, что поглощение, вызываемое объемной вязкостью, может на два порядка и более превышать поглощение, вызываемое сдвиговой вязкостью.

Остановимся вкратце на общем вопросе о связи между дисперсией и поглощением. Для этого вернемся к выражению, дающему интегральную связь между р и р (см. (4.12)). Можно показать, что после интегрирования по частям оно может быть переписано в виде

p = clpcl J (У(/)схр(-1:]л. (4.21)

Запись уравнения состояния среды в форме (4.12) и (4.21) полезна в том отношении, что она явным образом характеризует запаздывание реакции среды на внешнее воздействие (в данном случае на изменение плотности р). Тот факт, что верхний предел интегрирования в (4.12) и (4.21) ограничен значением t, является выражением принципа причинности, согласно которому реакция среды в момент времени / определяется воздействием в прошлом и настоящем, т. е. при t<,t (среда с памятью). Использование уравнения реакции в простейшей форме (4.7) без учета квадратичного члена привело к появлению экспоненциального ядра в (4.21). В общем случае среда описывается следующим линеаризованным уравнением состояния *):

(г, 0= dt J X (г, г, t, /) р (,-, /) dr.

(4,22)

в котором интеграл по объему означает, что реакция в точке г определяется суммированием воздействий в различных точках пространства (г), т. е. имеется пространственная 11елока,1М10сть (соответственно уже упомянутую зависимость реакции от воздействий в различные моменты времени часто называют временной пемкаль-ностью). Вид ядра у. (г, /, /) можно определить, конечно, только с помощью микроскопического рассмотрения. Однако и феноменологический подход позволяет получить весьма полезные сведения. В частности, из (4.21) легко убедиться, что ядро X убывает практически до нуля в течение характерного времени релаксации X. Аналогичные выводы можно сделать и относительно пространственного спадания х [27]. Можно показать, что к заметно отлично от нуля лишь в интервале \г-r\d, гдей- характерный размерный параметр среды (длина свободного пробега частиц, дебаевский радиус, постоянная кристаллической решетки и т. д.).

*) Для среды с нелинейным уравнением состояния до второго порядка включительно величина р> с учетом только временной нелокальности описывается выражением [26]

1 f

р()= J dt 5 {t, t, t )p{t)p(i )dt .