Теоретической основой физической акустики служит механика сплошных сред - гидродинамика и теория упругости. Подробное изложение гидродинамики содержится во многих книгах (см., например, 11-4]). Предполагая, что читатель знаком с ее основами, мы кратко остановимся лишь на тех сведениях, которые понадобятся нам в дальнейшем.

Рассмотрим движение идеальной сплошной среды (жидкости или газа), вязкость и теплопроводность в которой отсутствуют. Закон Ньютона для сплошной среды - произведение массы единицы объема среды на ее ускорение равно действующей силе - в координатах неподвижного пространства {координаты Эйлера) запишется в виде

9 = 9 + 9{v)v = ~p + 9f, (1.1)

где V - скорость движения жидкости в данной точке пространства, р - плотность, р - давление и / - силы, действующие на единицу массы жидкости. (Например, pf=pg - это сила тяжести, где g - ускорение свободного падения.) В этом уравнении dv/dt представляет собой так называемую локальную производную, {v\)v - конвективную производную. Это векторное уравнение называется уравнением Эйлера; оно содержит пять неизвестных - v, v, р, р. Сразу же отметим, что это уравнение нелинейное; нелинейность возникает, например, из-за присутствия конвективного члена {v)v. Обычно в акустике, где скорость v есть колебательная скорость частиц жидкости, вызываемая прохождением волны в покоящейся среде, этот член отбрасывают, поскольку v мало и (vv)v - член второго порядка малости. Он значительно меньше остальных членов уравнения (1.1). Далее мы увидим, что во многих случаях этого делать нельзя, и учет конвективного члена позволяет рассматривать большой класс важных нелинейных эффектов.

Если при движении жидкости нет разрывов сплошности, масса в некотором фиксированном относительно неподвижного простран-

етва объеме сохраняе1ся. Закон сохранения массы жидкости выражается уравнением непрерывности:

ap/a-l-v(pz )=o. (1.2)

правая часть (1.2) равна нулю, только если отсутствует источник массы. Условие несжимаемости жидкости р=const запишется в виде

VZ = divz = 0. (1.3)

Возможен другой подход к описанию движения, когда система координат связана с частицами среды (лагранжевы координаты). Этот подход используется в теории упругости и некоторых задачах нелинейной акустики, там, где лагранжевы координаты удобны для задания граничных условий 151.

Если совокупность эйлеровых координат (£-координат) обозначить через X, у, z, а лагранжевых (L-координат) - через а, Ь, с, то преобразование от L-координат к -координатам будет иметь вид

x = x(a, b, с, t), у=у{а, Ь, с, t), z = z(a, b, с, t). (1.4)

Обратное преобразование от е- к L-координатам:

а = а{х, у, г, t), Ь = Ь{х, у, г, t), с = с(х, у, z, /). (1.5)

Для совершения точного перехода от одних координат к другим нужно, вообще говоря, знать решение системы уравнений гидродинамики в Е- или L-координатах. В акустических задачах, когда смещения частиц I из положения равновесия малы, этот переход можно выполнить приближенно. Связь между эйлеровой координатой X и лагранжевой а будет х=а+, и, поскольку смещения малы, можно представить гидродинамические параметры, например акустическую скорость v в L- и -координатах, в виде ряда по степеням . Ограничиваясь в этом разложении членами второго порядка малости, и.меем в L-координатах

Vj ia, t) = v,{x-l, t)v,ix, t)~l-+\l-+ ... (1.6) и в -координатах

v,(x, t) = v,{a + l, t)v,ia, 0 + +... (1.7)

В переменных Лагранжа уравнение непрерывности для жидкого объема (форма которого меняется с течением времени) в одномерном случае имеет вид

р(1 + а/аа) = р , (1.8)

а одномерное уравнение движения (при /=0) -

РодЧ/дР +др/даО. (1.9)

Как видно, в отличие от (1.1), одномерное уравнение движения (1.9) в среде без вязкости в L-координатах линейно и имеет более простой вид.

Для несжимаемой жидкости система (1.1) и условие (1.3) (если сила / задана) представляют собой замкнутую систему четырех уравнений для четырех неизвестных: v, v,, и p. На основе этих уравнений могут решаться конкретные задачи. Для идеальной жидкости на непроницаемых границах обращается в нуль только нормальная к поверхности составляющая скорости. Из-за того, что жидкость не прилипает к стенкам, тангенциальная составляющая скорости на границе того же порядка, что и вдали от тела.

Акустика имеет дело со сжимаемыми жидкостями, поэтому неизвестной является также и плотность р. Чтобы замкнуть систему уравнений идеальной, но сжимаемой жидкости, необходимо еще одно уравнение, связывающее р и р. Таким уравнением служит уравнение состояния среды.

В случае идеального газа du=CydT, где Су - теплоемкость при постоянном объеме, и - его внутренняя энергия (энергия единицы массы), и уравнение состояния может быть записано в виде адиабаты Пуассона:

Р = /о(р/Ро). (1-10)

Здесь Ро - давление при р=ро, у=Ср/Су, где - теплоемкость при постоянном давлении.

Отметим, что для газов всегда 7>1 (так, для воздуха при 20°С и атмосферном давлении 7=1,43) и уравнение состояния нелинейно; нелинейным также является и уравнение состояния для жидкостей. Сложность теории движения жидкости и состоит главным образом в том, что это движение описывается нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных и нелинейным уравнением состояния. Следует добавить, что эти уравнения содержат большое число переменных.

Уравнение состояния для среды, отличающейся от идеального газа, можно получить, разложив р=р{р) в ряд по малому объемному сжатию М=(Р-Ро)/?-! [5]- Такие сжатия в акустике действительно малы, даже при больших интенсивностях звука. Разложение запишем в виде

A = Q,ci, s = pnacvap)s,p=p . (1.12)

Здесь - квадрат адиабатической скорости звука; безразмерная величина S/Л = (p /c?)((3cV(3p)s. р=р определяет нелинейные свойства среды с точностью до квадратичных членов. Будем называть нелинейным параметром среды величину

п\+£() (1.13)

Со \ А. Р = Ро

(когда справедливо (1.10), п=у). Величина п выражается через А