Здесь - J ~ плотность тока проводимости; dDldt=Jcm -- плотность тока смещения; v -УДельная проводимость среды; Уполн - плотность полного тока.

Истоки поля:

div==0 и divZ? = p, причем В = р,о {ff + D = вЕ + Р и по закону сохранения заряда divy = -

Для линейной изотропной среды В = Иг ИдЯ; D = er bJE; Totff = yE + SrSodE/dt; rotE~- [If Ио дН /dt.

Граничные условия

На границе двух сред (/ и 2) Bm=Bin, H2t=Hit\ Ezt = Elf, Dm - Difi = o; J2п полк = Jm поли-

Потенциалы

Скалярный (элисгрический) ф и векторный (магнитный) А потенциалы электромагнитного поля определяются уравнениями

rot А = S и - grad = Е+ dAldt.

Если выбрать уравнение связи

где с=1/-/ееор,гр,о. то для векторного и скалярного потенциалов получаются волновые уравнения:

с2 е/?

в этих уравнениях плотность тока J и заряд р связаны законом сохранения заряда, т. е. не могут задаваться независимо. После решения одного из уравнений при заданных граничных и начальных условиях вторая величина определяется из уравнения связи.

Магнитная индукция и напряженность электрического поля находятся после выполнения простых операций:

В = rot А и Е = - dAldt - grad ф.

Уравнения Максвелла в комплексной форме

Когда электромагнитное поле изменяется синусоидально, уравнения Максвелла могут быть записаны в компле1ссной форме:

rot Н = уЁ -i- jmr SoE;

rot£ = -/миИо; divB = 0; divD = p.

Определение потерь. Теорема Умова - Пойнтинга

Потери в среде объемом V с удельной проводимостью у по закону Джоуля-.Ленца

Р =jJEdV= \yEdV.

Во многих случаях потери проще вычисляются по теореме Умова-Пойнтинга

- § (ЕХИ) rfS=P -f (dWJdi + dW,/dt),

где ЕХНП - вектор Пойнтинга, равный численно потоку элемромагнитной энергии, проходящей через единичную поверхность в 1 с (мощность). Левая часть равенства - поток мощности, входящий в объем V, ограниченный поверхностью S. Второе слагаемое правой части-изменение энергии электрического и магнитного полей в объеме V.

В комплексной форме

где Ёт, tim-комплексные амплитуды на-пряженностей, и

- фШ5 =P-f

+ /(О

здесь Р - действительная часть потока вектора Пойнтинга.

Литература [4 1, 4-2, 4-4 - 4-6, 4-47, 4-48, 4-51-4-53].

4-9. СОПРОТИВЛЕНИЕ, ЕМКОСТЬ, ИНДУКТИВНОСТЬ

Сопротивление проводника

Сопротивление проводника. Ом, имеющего постоянное сечение S, м, длиной I, м,

г = IlyS,

где Y ~ удельная проводимость, См/м. Емкость конденсаторов и проводов

Емкость плоского конденсатора, Ф, состоящего из п пластин,

C = (n-l)8rEoS/d,

где 5 - площадь пластины, м; rf -расстояние между пластинами, м; во - в Ф/м.

Емкость цилиндрического конденсатора, Ф (коаксиального кабеля).

In {Ri/Rj)

§ 4-9]

Сопротивление, емкость, индуктивность

где I - длина конденсатора, м; Ri - радиус внутреннего электрода (жилы); R2 - радиус внешней обкладки (внутренний радиус оболочки); Ёо - в Ф/м.

Емкость конденсатора с многослойным диэлектриком, Ф, плоского Ci, цилиндрического Сг.

Ci =

fe=i

Rk-i

где S -площадь пластины, м=; rf -толщина k-TO слоя диэлектрика, м; &rh - относительная диэлектрическая проницаемость k-ro слоя; п - число слоев; t - длина конденсатора, м; /?о - радиус внутреннего электрода; Ru Rz,Rh~i - радиусы граничных поверхностей между слоями; Rn - радиус внешней обкладки; ео - в Ф/м; fe=l,2,... п.

Рис. 4-50.

Емкость, Ф, двух параллельных цилиндров на единицу длины (рис. 4-50)

Со = 2№г Ео/1п

a-\-.Xi-Ri a-\-Rx-Xi.

+R\-Rl 2s

14 .

a-j-Rj - Xj a-i-X2--R2

s4rI~rI

2s

Емкость, Ф, прямолинейного провода конечной длины и круглого сечения (считая, что второй электрод в бесконечности)

гг 10- I

-0,307-0,1775/1п

- 0,5Б21п -у

с погрешностью менее 1% при l/r>lO; здесь / - длина провода, м; г - радиус поперечного сечения, м.

Если допустима меньшая точность, то можно принять

е,-10- /

С =

18 [In (2l/r) - 1]

примечание. Емкость уединенного проводника равна отношению заряда проводника к его потенциалу в предположении, что все другие проводники бесконечно удалены.

Рис. 4-51.

Емкость кольца, Ф (рис. 4-51; считая, что второй электрод в бесконечности),

IQ-uR

С =

с погрешностью менее здесь R - радиус кольца, м; провода, м.

9 In (8/?/го)

2% при /?/Го>10; Го - радиус

Метод электростатической аналогии

Сопротивление между электродами в проводящей среде рассчитывается методом электростатической аналогии по формулам емкости между те.ми же электродами, помещенными в диэлектрическую среду:

г = Ёг Во/уС,

где г - в Ом; С - емкость между электродами, Ф; Y - удельная проводимость среды, См/м; е,- относительная диаэлектри-ческая проницаемость диэлектрика; ео - в Ф/м.

Пример. При известной емкости цилиндрического конденсатора сопротивление (в омах) между цилиндрическими коаксиальными электродами, помещенными в среду с проводимостью V, рассчитывается по формуле

In

Индуктивность и взаимная индуктивность проводов

Индуктивность уединенного прямолинейного провода круглого сечения, Гн,

L = 2-10- /

/21 \

In - -0,75 ,

где / - длина провода, м; г - радиус поперечного сечения, м.

Для коротких проводов L, Гн:

In- --+

Z, = 2.10- /

128г 45зх/

Взаимная индуктивность, Гн, двух прямолинейных проводов одинаковой длины / (рис. 4-52)

М = 2п-10-Чк, где i-B м; k - коэффициент (рис. 4-53).

Рнс. 4-52.

. Индуктивность соленоида (бесконечно тонкой катушки) и однослойной катушки, Гн (рис. 4-57,0!),

Z. = 2-10- wm,

где ш -число витков катушки; k - коэффициент (рис. 4-57, б); I и R - в м.

Если /10., то с погрешностью не более 57о

2/?шг-10-

~ 0.44 +г/2/?

о 0,2 0, 0,е 0,8 1,0 1,2 1,i-

Рис. 4-53.

о 0,2 0,t 0,6 0,8 1,0

Рис. 4-56.

Индуктивность катушек Индуктивность кольца (рис. 4-51), Гн,

при /? Ло

L = 4я-10-/? 1п ~ - 1,75 j .

В общем случае Z. = 4n-10-/? ,2

in 5-1,75-f

о /8/? 1 \

где Я к Го - в м; L - в Гн.

О 0,2 0,it0,6 0,8 1,0

Рис. 4-57.

Рис. 4-54.

Рис. 4-55.

Индуктивность кругового кольца прямоугольного сечения (рис. 4-54), Гн,

/ 8R \

. L = 4п-10- R I In -г- - 0,5 .

где R, а к г - в ы.

, Индуктивность плоской (дисковой) катушки, Гн (рнс. 4-55),

Z. = 0,5-10-шЫ,

где:й*-число витков катушки; d - средний диаметр, м; fe-коэффициент (рис. 4-56).

LI iJ

Рис. 4-58.

Рис. 4-59.

Индуктивность многослойной катушки, Гн (рис. 4-58),

0,32-10-4/?W

6R + 9l+l0d

где толщина намотки d, R к I - вм;ш - число витков катушки. Если в знаменателе слагаемые одного порядка, то ошибка, даваемая формулой, не более 1%.