§ 47]

Магнитное поле

11 12 13 21 22 2S 31 22

Остальные коэффициенты fi можно записать, применив круговую замену индексов, причем

Емкость

В случае двух проводников, несущих равные и противоположные по знаку заряды Qi=-Q2=Q:

Ф1 = ( 11 - 12) Q; Фа = ( 21 - 22) Q и

fl2 = ф1 - Ф2 = ( 11 + 22 - SWia) Q.

Емкость между двумя проводниками

Если второй проводник удален в бесконечность и ф2=0, то емкость уединенного проводника

Частичные емкости

Линейная зависимость зарядов проводников от потенциалов может быть записана и в виде

Qi == Си Ф1-ЬСй (ф1-Фг) -f -f См(ф,-ф );

Qn = с ф -f-с 1 (ф -ф1)-f

+ . -1(ф -Фп-l) где частичные емкости (см. рис. 4-47) Си - Ри + Рга + + Ргг + + inl

С hi =Cik = - Pik-

Моделирование

Аналогия уравнений электростатического поля при р=0 и постоянного поля в проводящей среде вне источников энергии позволяет моделировать электростатические поля, подчиняющиеся уравнению Лапласа, полями в проводящей среде, если проводимость среды Y много меньше проводимости материала электродов (см. также Метод электростатической аналогии ).

Энергия электростатического поля. Силы

Энергия

где q>b и Qh - потенциалы и заряды электродов (проводников); р -объемная плотность свободного заряда между электродами.

Энергия конденсатора

W = Ст/2 = QU/2 = 0/2С.

Объемная плотность энергии поля (для которого D=ereoE)

W = DE/2 = е, бо Ei/2 = £>5/2е, 8о.

Составляющая механической силы по координате g (стремящаяся изменить данную координату g проводника)

F = - (dWmooorsV -( ?/g)=consf

Первая из формул применяется, если при изменении энергии поля остаются постоянными заряды всех проводников (например, когда все проводники изолированы и отсоединены от источников питания). Вторая формула применяется, если остаются постоянными потенциалы всех проводников (например, потенциалы всех проводников заданы присоединенным источником питания).

Литература [4-1, 4-2, 4-4-4-6, 4-47- 4-50].

4-7. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ

Магнитная индукция и магнитный поток

Сила, испытываемая в магнитном поле движущимся зарядом д (сила Лоренца) или элементом проводника dl с током t (сила Ампера), определяется вектором магнитной индукции В:

FqcXB и dF= idl X В,

где с - скорость движения заряда.

Составляющая магнитной индукции, создаваемой элементом тока / dim расстоянии г от элемента тока в однородной среде с относительной магнитной проницаемостью (Хг, по закону Био - Савара

где г =tlr - единичный вектор, направленный от элемента тока в данную точку.

Коэффициент пропорциональности цо - магнитная постоянная - здесь и в дальнейшем зависит от выбора системы единиц и формы записи уравнений. В системе СИ и рационализованной системе МКСА постоянная р,о=4п-10- Гн/м, в нерацнонализо-ванных системах СГСМ и симметричной Гауссовой р,о=1.

Магнитная индукция, создаваемая контуром с током /,

Например, для круглого витка радиусом а с током / индущия на оси

В = В,

2 (а? + zift

где Z - расстояние от центра витка.

Для прямолинейного провода радиусом Го с постоянной плотностью тока / в цилиндрической системе координат с осью z, совпадающей с осью провода, индукция внутри (i) и вне (2) провода

В=В,

la.

lt/-2 Мр-О

гп& г - расстояние от оси провода.

Магнитный поток через поверхность S

Для замкнутой поверхности BdS = 0, т. е. divB = 0.

Намагниченность. Напряженность магнитного поля

- Вектор намагниченности 2п1

М=Пт

vo V

rOtAf =УсЕЯ8.

где.2m-сумма магнитных моментов в элементарном объеме V\ Усвяв - плотность токов, обусловливающих магнитный момент В!ещества (магнетика) и его намагниченность.

Вектор напряженности

В неферромагнетике М=кН; : fi = io(Я-f М) = (го(1+к)Я =

где }гг= 1 +к - относительная магнитная проницаемость; к - относительная магнитная; восприимчвость; р,о - абсолютная магнитная проницаемость.

В нерационализованных системах СГСМ и симметричной Гауссовой (р,о = 1)

Д = Я+4яМ = (1-Ь4п;)Я = ц.гЯ,

где Цт=1-Ь4п (см. замечание о диэлектрической восприимчивости).

Закон полного тока

f fid/-HoJ(y+yoBH8)rfS;

го1В = Цо(+свпз).

где У-плотность тока проводимости; I - контур, ограничивающий поверхность S.

Закон полного тока, выраженный через напряженность Н, позволяет не учитывать в явной форме связанных токов:

JHdl=JdS HTOtH = J.

Для линейных токов

JHdl = 2r,

где 2/ - алгебраическая сумма токов, охватываемых контуром 1.

Потенциалы магнитного поля. Граничные условия

В магнитном поле, для которого &lfdl=0 и rotH=0 (потенциальное поле).

по аналогии с электростатическим полем можно принять

Я = -gгadфм = ~VФм-Haпpимep, скалярный магнитный потенциал фм можно применить к расчету искажений заданного магнитного поля при внесении в него ферромагнтного тела.

Если в магнитном поле rot Н=0, но Hdl фа (соленоидальное поле), то можно ввести скалярный потенциал Н=-grad ф , но разность потенциалов неоднозначна.

Пример. Для коаксиального волновода (кабеля) (рис. 4-48) в области ri<r<rj плотность

Рис. 4-48.

тока равна нулю, т. е. rot Н=0. Но значение у Н Д зависит от выбранного замкнутого контура. Если контур охватывает жилу п раз, то ф Н л/. Поэтому разность потенциалов неоднозначна. Чтобы получить однозначность, надо ввести перегородку, устраняющую пути, которые охватывают токи. Для волновода, введя перегородку а=0 и выбрав Ф1д=0 при а=0, получим ФJJ=-/а/2я. Неоднозначность потенциала не сказывается на значении градиента потенциала:

В области, где то\НфО (вихревое поле), скалярный потенциал не может быть введен.

В любой области можно ввести векторный магнитный потенциал А:

rotA=B и I Ad/ = 0.

Величина div А не влияет на индукцию В и выбирается произвольно, но так, чтобы уравнения, содержащие А, упрощались. Так, для однородной среды при div Л=0 векторный потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона

уМ = - Иг Ио

и для точек поля, где отсутствует плотность тока проводимости, уравнению .Лапласа

уМ = 0.

Пример. Для двухпроводной линии с током / вне проводов векторный потенциал

где г и 4-- соответственно расстояния до точки наблюдения от 1 го и 2-го проводов; потенциал А принят равным нулю в центре между проводами.

На границе раздела двух сред (/ и 2) B2n=Bin или Ait=Au и H2t=Hit, где Вп- нормальная составляющая вектора индукции; At я Ht - тангенциальные составляющие векторного потенциала и вектора напряженности.

Энергия. Электродинамические силы

Энергия системы контуров (катушек) с токами

где Чй - потокосцепление -го контура; (к - ток fe-ro контура. Для двух контуров

W=Lii\l2 + LiU2±Mil.

+М - при согласном включении, ~М - при встречном включевии.

Объемная плотность энергии поля (если В=[У,т[У,оН)

W = BHI2 = \Хг VoHy = B?/2iir fa.

Сила, действующая / на провод длиной / с током / (рис. 4-49),

Рис 4-49.

F = HXB.

Сила взаимодействия двух достаточно длинных параллельных проводов (/i=/2=0.

fa fa 2ш

hht.

где а - расстояние между проводами.

Два провода притягиваются, когда токи в них имеют одинаковые направления, и отталкиваются, когда направления токов противоположны.

Сила, стремящаяся изменить данную координату g системы контуров,

F = - (дW/дg); F = (aW/5g)j

(см. примечание к вычислению силы в электростатическом поле).

Электромагнитная индукция (наведение ЭДС)

Если провод движется в магнитном поле В со скоростью то в каждом элементе dl провода ЭДС

de = B(dlXv).

Если провод / движется в однородном магнитном поле перпендикулярно векторам В и 1,10 e=Blv.

Для замкнутого контура

e=j,Edl=j(vXB)dl=.-iXD/dt.

Такая же ЭДС индуктируется в неподвижном контуре / при изменении магнитного потока, пронизывающего контур. Если контур состоит из W витков (катушка), каждый из которых пронизывается одним и тем же потоком Ф, то наводимая ЭДС в w раз больше.

Если не все витки охватываются одним и тем же потоком, то e=-dW/dt, причем потокосцепление

где Фк - поток, пронизывающий ft-й виток.

Если одновременно изменяется магнитный поток и перемещается контур, то

й¥ dx ЙЧ

дх dt

Самоиндукция и взаимная индукция

В простейшем случае одного контура с током в неферромагнитной среде,магнитный поток, сцепляющийся с этим контуром, определяется только током в этом контуре:

где L - индуктивность контура, которая зависит от размеров и формы контура, а также магнитных свойств окружающей среды. При изменении потокосцепления Чг.в контуре возникает ЭДС самоиндукции

ei=~ /dt = - L diJdt.

В случае двух контуров с изменяющимися токами в каждом из них н&водитЬя кроме ЭДС самоиндукции и ЭДС взаимной индукции. Например, потокосцепление со вторым контуром

где М21 - взаимная индуктивность между вторым и первым контурами:

Кроме ЭДС егь=-d2L/dt во втором контуре возникает ЭДС взаимной индукции

eiM=~d2MlAt = -MdiJdt. 1.

Зависимость между М, Li и L2 определяется коэффициентом связи

причем ft < 1.

Закон Ленца: ЭДС, наводимая в контуре изменяющимся магнитным потоком, всегда стремится вызвать ток, направленный так, чтобы воспрепятствовать изменению магнитного потока.

Литература [4-1. 4-2, 4-4 - 4-6, 4-47-г 4-50].

4-8. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ

Уравнения Максвелла для электромагнитного поля

в неподвижной среде

Вихри поля:

rot Н = уЕ + dD/dt = Уаолн (закон полного тока);

TotE = -dB/dt (закон электромагнитной индукцииЦ,