Таблица 4-4 Оригиналы и изображения (по Лапласу)

Оригинал f (/) = ?

dfldt

1 Щ~ функция

Хевисайда 6 (Л - функция Дирака t

t (.n - целое)

Изображение F (р) = F

1-e-t (1-йО е-

/ -1

(п - целое)

е -- е

.-at -6/ be - ае

1 -(l-faOe

cos (Во/

sin и / cos ((0 / -f ф) sin (cu /-f- ф)

/ cos <Bo? /sintOo/

. а/

pF - fiO) FlP 1/p 1

nl/p +i

P-fa

P (P+ o) P

(P + a) 1

(P + o) (n- 1)! (рН-а)

(P+o) (P+b)

P

(p -f a) (p -f bf

Ob

P (P + a) (p -f 6) a

P (P + a)

P + a>2

p cos Ф - {Qq sin Ф

p2+a>§ P sin Ф -f {Qq cos Ф

p2+co2

(p?+.2)2

2C0.P (p=-fo,2)2

shOo/ ch (В /

sh (o / e- cli (o /

p?-.2

P?-o2

(p-f a)? - 0)2

p + g

(P + a)?-co2

Для рациональных дробей может быть применена теорема разложения. Если

Р2 (Р) РРз (Р)

ТО соответственно

1 Fi(pfe) gp

/(0 =

Fi iPk) PkFsiPk)

где Fi{p), Fz{p), Fs(p) - полиномы относительно p; pft -корни уравнения Fz(p) = 0 или Fs(p)=0; n - число корней; F(p) = =dF(p)/dp.

Формулы теоремы разложения предполагают отсутствие нулевых или кратных корней в уравнениях р2(р)=0 и Рг(р)=0. При двух кратных корнях надо применить те же формулы, считая один из кратных корней равным pk+a (а - малая величина), и затем принять а->-0.

Аналогично можно определить f(t) при любом числе кратных корней.

Пример (рнс. 4-30). Уравнения (1)-(3) из примера расчета классическим методом в операторной форме:

- Г(Р) + ft (Р) -f h (Р) = 0; (8)

П (Р) -f pLh (Р) - Li, (0) = £/р; (9)

П (Р) + (Р)/рС + ф)1р = ElP. (Ю)

1{р)

где Е1р-изображение заданной постоянной ЭДС; (i(0) и и. (0), как и раньше, определйются из

режима до коммутации.

Из уравнений (8)-(10)

[Е - (0)] pW + PLi (0) + £-

р (pLCr + pL + г) ~

3,13-10~° р -2,75-10% +10 р (62,5.10- р? + 62,5.10- Р + 10 ) Fi (Р) р£з(Р)

Из уравнения £з(Р)~0 находим pi=-200, Рг=-800. Затем f,(0) = 10: Fs(0) = 10; Fi(pi)-16,75; =i(P2)-32,0; Fg(p)-125-10-p+62,5.10- ; рШ =

=375-10-*; Fg (p2)=-375-10-

И no теореме раз-

ложения получаем тот же ответ, что и раньше.

При помощи вычетов в трех простых полюсах Pi=-200; Р2=-800 и Рз=0 находим три слагаемые суммы

t = Xres/(p)e и получаем тот же ответ, что и ранее.

При подключении к источнику ЭДС (к источнику тока) вида Bt

B{t)

Пример (рис. 4-32) Найти нарряжение на резистивном элементе с сопротивлением г, если £0=10 В; г-10 Ом; i-l Гн:

(р) = гЦр)--=г-

r + pL fCip)

откуда

К (р) = ±1.; К (0) = 1; К- (р)= - .

-rwv.

Формулы Хевисайда

Формулы Хевисайда непосредственно пригодны для расчета переходного. процесса в пассивной цепи, т. е. цепи, не содержащей до коммутации источников ЭДС (напряжения) и тока и запасов энергии (заряженных конденсаторов и индуктивных катушек с током).

При подключении к источнику Э,ЦС

(источнику тока) вида Еое искомый ток (или напряжение на любом элементе цепи) может быть найден по формуле

К (а)

(Pk-)K (Pk)

где К(р) - операторное сопротивление или коэффициент пропорциональности между приложенным напряжением (током) источника и искомой величиной, т.е. величина, обратная передаточной функции в операторной форме Н(р); К{а) есть К(р) при р=а; Pk-корни уравнения К(р)=0; K{p)=dK(p)/dp; п - число корней.

При включении источника постоянной ЭДС {постоянного тока) Ео

К(0)

Pk K(Pk)

где К(0)=К(р) при р=0.

При включении источника синусоидальной ЭДС (синусоидального тока) Еш sin(at+ii))

Рис. 4-32.

Характеристическое уравнение /С(р)~0 дает один корень pi=-r/L=-10 с *, а K(pi)-=0,1. Искомое напряжение

= 10 - 10 е-10< в.

Интеграл Дюамеля

При подключении источника Э,ЦС (тока) с напряжением (током) произвольной формы (рис. 4-33) к пассивной цепи для

a = Ui (0) h{t)-\-\ ul (6) h(t-e) dQ;

для ti<t<t2

a = ui (0) h(t) + \ u[ (G) /1 (/ - 6) de 4-

-\-Kuih{t-t) \ i4(6) A(/-G) 46;

i = Im 10*

аналогично для f2<t-<tz и т.д.; в частности, при ti-oo первое выражение справедливо для любого t

Здесь

A i = 2(i)- i(i); (6) =

du dt

a - искомый ток или искомое напряжение; h(t} - переходная или передаточная функция - функция времени, численно равная искомому току (или напряжению), который получается при включении цепи не на заданное напряжение u(t) (или ток источника), а на единичное напряжение 1 В (или ток 1 А); h(t-e) и h(t-<i)-функция h(t} при замене t соответственно на t-e и

В частном случае, когда определяется ток, а подключается источник напряжения, функция h(t) имеет размерность проводимости (переходная проводимость).

Интеграл Дюамеля может быть записан и Б других эквивалентных формах.

Пример, к цепи по рис. 4-32 подключается источник ЭДС с напряжением по рис. 4-33,

где ui~5+5t; *,=0,1 с) 2= S -2(/-,1). оо.

Найти напряжение и.

Переходная функция, при fo=-l В (см.

-Wt Прно< *,

. напряжение предыдущий пример), ft=l-

.5(1.

-io0 + j5[i-e-io(i-e)lde =

= 4,5(l-e- *)-f-5f. .Аналогично проводится расчет при i,<t<a>,

Интеграл Фурье

Для непериодических функций f(t), имеющих конечное число точек разрыва I рода на любом конечном интервале и удовлетворяющих условию абсолютной интегрируемости, справедлива интегральная формула Фурье

f(0 =

f(e)cosa{t - Q)de

она дает разложение функции f(f) в непрерывный спектр:

f(t)-{ А (<о) cos at da-i-

A((i))d(i) и В (со)do-бесконечно малые амплитуды косинусоидальных и синусоидальных составляющих спектра. В комплексной форме

оо -оо

(обратное преобразование Фурье). Здесь F(/(b) -прямое преобразование Фурье:

Р (/о) = F (ш) е*) = f f (О е- dt =

= я[Л (ш)-/В(ш)]

- спектральная плотность; F(o) - амплитудно-частотная характеристика функции /(0; il)(o) - фазо-частотная характеристика.

Интеграл Фурье можно применить к расчету переходных процессов, в линейных электрических цепях.

Если к пассивной цепи подключается в момент t=Q, например, источник ЭДС e(t), удовлетворяющий поставленным выше условиям, то спектральную плотность Э,ЦС можно найти по формуле прямого преобразования, выбрав нижний предел интегрирования равным нулю, или по формуле

£(/ш) = £(р)р ,.,

где Е(р) - операторное изображение ЭДС по Лапласу.

Спектральная плотность тока в любой. из ветвей (или напряжения)

где Я(/<й) -передаточная функция в комплексной форме; в частности, при вычислении тока Н (/(о) = F(/(u) - комплексная проводимость, так что /(/ю). находится известными методами (см. § 4-1).

Ток переходного процесса i(t) определяется по формуле обратного преобразования или заменой /о на р записывается изо- . бражение 1{р), а затем вычисляется ток i{t) так же, как и в операторном методе..

Передаточная функция Я (/со) связана с переходной функцией h(t) выражениями

Н (/(й) = А (0) 4-1 Ь (в) е- dQ

-f-1 б(со) sin at da,

А(а) = -- j Ю) cos at dti

В (a)

fit) sin at dfi

При H (/to) = Y (/to) = g (co) - jb (a)

g (to) = (Йi ft (6) sin toe de=

= A(0)-bfA (G) cos toe dGj.