= VfI + f\ + pI + pI+-,

где fо - постоянная составляющая; f\- действующее значение первой гармоники; р2, Рз ...- действующие значения высщих гармоник, причем Fft=/ W У2(А = 1, 2, 3 ...) и Fftm= амплитуда гармоники.

Среднее значение за период равно постоянной составляющей Fo=uo=Co=rfo.

Среднее по модулю значение, измеряемое прибором выпрямительной системы, Г

Среднее максимальное за половину периода

и+тгг

Так как среднее значение зависит от выбранного tl, то t\ должно выбираться так, чтобы интеграл был максимальным.

Коэффициенты иесииусоидальности

Степень несинусоидальности оценивается коэффициентами амплитуды йа, формы йф, искажений йися и гармоник kv.

. fmax , F ,

иск -

где fmax - максимальное (пиковое) значение; Рв= ]/р-Р-р\. Для синусоидальных величин fta= У2; &ф=1,11; *яск=1;

йг = 0.

Мощность

Активная мощность

г оо

Р = у-м* =t/o/o+ Uk/СОВфь и ft=l

где фл -сдвиг ПО фазе между напряжением и током й-й гармоники. Полная мощность

suiYul-\-vi + vl+... X

Реактивная мощность ~ Q=S UklkinifkVs-P.

Коэффициент мощности X = P/S.

Если напряжение синусоидально, т. е. и= иimsinait, как, например, напряжение достаточно мощной сети в выпрямительных установках, то

Р= {/з/созф! = Si cos ф; S = Utl;

Х= (SJS) cos щ = й ск cos Ф1.

Эквивалентные синусоиды

При несииусоидальных напряжениях и токах, если несинусоидальиость ие имеет принципиального значения, их можно заменить эквивалентными синусоидальными напряжением й током. При замене действующее значение синусоидальной величины должно быть равно действующему значению несинусоидальной величины. Угол сдвига фаз в между эквивалеитиымн напряжением и током выбирается так, чтобы активная мощность осталась прежней:

P = { cose = Scose.

Эквивалентная реактивная мощность

QsK = UI sin 6 = Vs. - Pi ф Q.

Высшие гармоники в трехфазных цепях

Фазные напряжения могут кроме основной гармоники содержать еще нечетные высшие:

Л = 1 + Зт (Зшг -f %) +

+ Ui sin (Scajt -f ijfi) + U i sin (7щ1 -j-+ 17)+...; B = im (V-20°) + + Uam Sin (3o)i -f ярз) -f Um sin (5(0i/ -f -f 120°-f %)-}-...;

+ %) + Um sin (5wit - 120° + %)+...

Bee высшие гармоники, кратные трем (3-я, 9-я и т. д.), имеют во всех фазах симметричной трехфазной системы в любой момент тождественные значения как составляющие нулевой последовательности. Первая (7-, 13-, 19-я и т. д.) гармоники во всех фазах сдвинута так же, как составляющие прямой последовательности. Пятая (11-я, 17-я и т. д.) гармоника имеет обратную последовательность.

Действующее значение фазного напряжения генератора, соединенного звездой.

uVuj + ul+ul+u,+... .

Линейное напряжение

-VViJ\+ t/i+fi+u\i +...< <Угиф.

Пра симметричной нагрузке в системе без нейтрального провода в линейных токах отсутствуют гармоники, кратные трем. При симметричной нагрузке в системе с нейтральным проводом лииейиые токи содержат все нечетные гармоники, а ток в нейтральном проводе

N = 3/

3 + 9 + 15+

При соединении обмоток генератора треугольником для гармоник, кратным трем, образуется короткозамкиутый контур и в линейных напряжениях, как и при соединении звездой, гармоники, кратные трем, отсутствуют.

Взаимная связь магнитного потока, ЭДС индукции, напряжения и тока в катушке со стальным магиитопроводом

Напряжение между конечными выводами катушки (рис. 4-27)

dФ . . . di

+ n+L

где Ф - основной магнитный поток, замыкающийся по макнитопроводу; ш - число

/ор -средняя длина линий магнитного потока.

При синусоидальном напряжении, приложенном к катушке,

и == и, cos cat = sin (at + 90°)

магнитный поток изменяется также синусоидально (если пренебречь сопротивлением обмотки и потоком рассеяния):

Ф = - {и dt= Фщ sin at; w J

4,44/ш

Рис. 4-28.

Рис. 4-27.

витков обмотки катушки; г - сопротивление обмотки; Z,pao = Ppao/i -индуктивность рассеяния, зависящая от потокосцеплеиия рассеяния Чрао или магнитного потока, замыкающегося вне магнитопровода.

Наводимая магнитным потоком Ф в обмотке ЭДС е=-wdfbjdt. Среднее значение ЭДС

£ср = 2/ю(а-Ф п).

Если Фтох = -Фт{п=Фт, ТО £ор = = 4/шФт.

Действующее значение ЭДС Е=кфЕср, где - коэффициент формы. Для синусоидальной ЭДС йф = 1,П и £=4,44 fwФш.

Для несинусондальных ЭДС и магнитного потока последняя формула справедлива для каждой из гармоник в отдельности.

Зависимость между магнитным потоком Ф и током i в обмотке катушки, т. е. Ф(0. если не учитывать гистерезиса и вихревых токов, задается кривой намагничивания материала магнитопровода В{Н), причем

Ф = В8 и iw = Hlcp,

где В - магнитная индукция; Н - напряженность магнитного поля; iw - магнитодвижущая сила (МДС); S - площадь поперечного сечения магнитопровода катушки;

Кривая тока, который называется током намагничивания, несинусоидальиа и может быть построена графически (рис. 4-28, а):

i =L sincD -/. sin3(B<-Ь Д Im от

+ IsinSat - ... Заменив ток i эквивалентной синусоидой, можно построить векторную диаграмму (рис. 4-28,6). Так как потерь нет, то вектор эквивалентной синусоиды тока /д отстает по фазе относительно напряжения на 90°.

Если катушка питается от источника синусоидального тока i, то поток и напряжение на катушке иесинусоидальны. Кривая потока может быть построена по кривой намагничивания аналогично построению тока на рис. 4-28, с. Напряжение и= - wdфdt. Векторная диаграмма (рис. 4-28, б) справедлива для эквивалентных синусоид напряжения и магнитного потока. Схема замещения катушки без потерь состоит из одного нелинейного индуктивного элемента.

Схема замещения катушки со стальным магиитопроводом при учете потерь

На схеме замещения (рис. 4-29, а) нелинейная проводимость g учитывает потери в стали. На рис. 4-29,6 показана векторная диаграмма для эквивалентных синусоид. Из-за потерь ток / отстает от напряжения О на угол, меньший 90°, и расклады-

вается на активную составляющую h и реактивную /р.

Если заданы U, т, Lpx, то можно считать Фши/4А4 fw; Вт==Фт/5. При Вт= =0,5-1,6 Тл удельная мощность, затрачиваемая на перемагничиваиие стали (потери на гистерезис и вихревые токи),

Pc = Pl.o(fim) (/50)1.3,

где =5,691g(pi,5/Pi,o); Pi.o и р 5 -удельные потери соответственно при Вт=1 Тл и В =1,5 Тл для/=50Гц (ГОСТ2142.7.0-75).

Нередко для материала магнитопровода при данной частоте и толщине пластин задаются или определяются экспериментально кривые удельных (на единицу массы С) потерь Ро(Вт) и реактивной мощности Qo(Bm). Тогда потерн в стали н реактивная мощность

pPGUImg; Q--=Q,G

откуда можно иайти g и b при данном U,

а также 7, /р и /=]/ll+ll : Литература [4-1-4-7, 4-24-4-31].

4-4. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Переходные процессы в линейных цепях с сосредоточенными параметрами

Законы Кирхгофа, записанные для мгновенных значений ЭДС, напряжений и токов, справедливы н для переходных режимов (дифференциальные уравнения).

Классический метод

При рещении задачи классическим методом составляют необходимое число дифференциальных уравнений по первому и второму законам Кирхгофа для схемы, получающейся после коммутации. Из полученной системы уравнений исключают все неизвестные токи, кроме искомого тока (или искомого напряжения). В результате получается уравнение вида

... + 1- +00 =f (О.

где uft - постоянные коэффициенты; F(t)- известная функция времени.

Рещением этого неоднородного дифференциального уравнения является функция i=i{t), состоящая из двух частей: частного рещения неоднородного уравнения и общего рещения соответствующего однородного уравнения (в правой части нуль).

Если в цепи действуют источники гармонических или постоянных ЭДС илн токов, то в качестве частного решения можно взять решение для установившегося режима (принужденного режима) в той же цепи после коммутации iy-iy{t).

Установившийся режим рассчитывается методами, изложенными в § 4-1.

Общее решение однородного уравнения-свободный ток 1св=(св(0 имеет вид:

icь = Al + Af+ ... +Апп*,

где А], Аг, An-постоянные интегрирования; pi, р2, .... Рп - корни характеристического уравнения:

a p + a iP -+ ... +ар + а =0.

Если среди корней есть кратные, например pi-рг, то

icB = (А, + А t) еР + 3 еР + ...

...+Ап\

Если среди корней есть пара комплексных сопряженных, например pi,2=-в-ь/ю, то в общем решении удобнее соответствующую пару экспонент заменить функцией

e-sin(ro/-f а),

где А н а - постоянные интегрирования, заменившие постоянные А\ тл Аг.

Искомая функция, т. е. действительный ток переходного процесса,

I = iy -f = пр + Alе +Аг*+

... --л A

Постоянные Ль Аг, An определяются из начальных условий и законов коммутации: 1) ток в индуктивном элементе it. не может изменяться скачком, 2) напряжение на емкостном элементе с не может изменяться скачком.

Из расчета цепи до коммутации могут быть найдены токи в катушках индуктивности и напряжения на конденсаторах в любой момент времени. В частности, в момент коммутации, который считается моментом t-0, находим 11,(0) и ис(0).

Примечание. В некорректных - задачах могут быть заданы такие коммутации, что в некоторых индуктивных элементах токи принудительно изменяются скачком, а на некоторых емкостных элементах напряжения принудительно изменяются скачком. Б этом случае законы коммутации должны применяться в более общей форме, требующей отсутствия скачкообразных изменений потокосцеплений и электрических зарядов.