Применение законов Кирхгофа для расчета электрических цепей

Если в электрической цепи известны все ЭДС и сопротивления, то можно рассчитать токи во всех ветвях, основываясь на законах Кирхгофа. Чтобы получить независимую систему уравнений, достаточно составить по первому закону Кирхгофа уравнения для всех узлов или главных сечений, кроме одного, т. е. д=у-\ уравнений, а по второму закону - уравнения для всех главных контуров, т. е. к=в-(у-1). В частности, для планарных схем (не содержащих пересекающихся ветвей) независимые уравнения по второму закону получатся, если их составить для всех ячеек. Так, на рис. 4-8, а - три ячейки, состоящие соответственно из ветвей 1, 2, 4; 2, 3, 6 и 4, 6, 5.

Пример (рис. 4-8.(2). По первому закону Кирхгофа для узлов а, Ъ, с имеем три (6=4-1) уравнения:

-Д-fЛ--/в = 0; --l\+h + h = 0;

~h~h~h = 0.

По второму закону Кирхгофа для трех ячеек-контуров три [ =6-(4-1)] уравнения (связи графа выбраны, как показано в левой части рис. 4-8, г):

(rj + 1<лЬг) Ь + гг 12 + mU h = El +

-г h + idibh- Ге h = ёб -£е;

jaLt h - i-h- ге h = Ёе.

уравнения Кирхгофа для токов и напряжений можно записать в матричной форме. Различают три топологические матрицы. Матрица соединений (узловая) А - это таблица коэффициентов уравнений, составленных по первому закону для д= =у-1 узлов. Строки (t) соответствуют узлам, столбцы (/) - ветвям. Элемент матрицы aij = l или -1, если соответственно ветвь / соединена с узлом i и направлена от узла или к узлу; ац = 0, если ветвь / не соединена с узлом i. Например, для схемы рис. 4-8, а или графа рис. 4-8, б (где направления ветвей совпадают с положительными направлениями токов)

Вместо матрицы соединений может быть записана матрица сечений - таблица коэффициентов уравнений, составленных по первому закону для сечений. Если таблица составлена для главных сечений, то это матрица главных сечений.

Матрица контуров В - это таб-лща коэффициентов уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа. Строки (г) соответствуют контурам, столбцы (/) - ветвям; число строк равно числу независимых контуров к. Элемент матрицы Ьц - Х

или -1, если соответственно ветвь / есть в контуре i и ее направление совпадает или противоположно направлению обхода; Ьц= = 0, если ветви / нет в контуре i. Направление обхода контура совпадает с направлением связи этого контура. Например, для схемы рис. 4-8, а или графа рис. 4-8, б, выбранное дерево которого дано в левой части рис. 4-8, в, т. е. с ветвями дерева 2, б, 4 и ветвями связи /, 3, 5, имеем три контзфа: /, II, III (рис. 4-8,6). Матрица контуров:

/1 10 10 О

В= III

-11 0 0 -1 0 0 II -1

Матрицы-столбцы то.ков и напряжений всех п ветвей:

Законы Кирхгофа в матричной форме:

Ai = 0; Bu(> = 0.

Пример (рис. 4-8, а). По первому закону Кирхгофа произведение матрицы А и матрицы-столбца токов i, в которой п=6 (ветвей), соответствует трем независимым уравнениям (записаны для мгновенных значений):

- 4 + i, + te = 0 (узел а);

- i, + 12 -f 1 з = О (узел by,

- 13 - и - гв = О (узел с).

По второму закону произведение матрицы 8 и матрицы-столбца напряжений ветвей соответствует уравнениям

1 Ч- 2 -f 4 = О (контур /);

- кг -)- 8 - иб = О (контур II);

щ + щ - щ - О (коитур III)

или, так как

и, = - ci -f fi h + Li dtjdf; 2 = - cs +.Г2 Hf

Us = Ls dis/dt;

Ui = ii dijdi; 6 = - f h dt- e = 6 -f ге 4,

r, + L, dijdt -f г2 Ч + Ц dijdt = e, -f e; - Г2 Сг + Us ЛУ dt - гб 4 = сб -

Съ J

Если схема содержит идеальные источники тока, то у-1 уравнений по первому закону Кирхгофа составляются по тем же правилам. Уравнения по второму закону для контуров, включающих ветви с источниками тока, не составляются. При подсчете необходимого числа уравнений по формуле к=в-{у-1) ветви с источниками тока в число в не входят. Дерево, связи, главные контуры определяются при исключенных из схемы ветвях с идеальными источниками тока.

Для цепей, которые имеют индуктивно связанные катушки, в уравнениях по второ-

му закону Кирхгофа должны быть учтены напряжения, компенсирующие ЭДС взаимной индукции.

Пример (рис. 4-10). Схема с двумя узлами (Q и s) и двумя контурами-ячейками:.

(слагаемые с взаимной индуктивностью записаны с тем же знаком, что и слагаемые с индуктивно-стями, так как токи направлены одинаково относительно одноименных выводов катушек).

входящих в контур t; каждый внедиаго-нальный элемент (или общее контурное сопротивление) Zij равен сопротивлению ветви, общей для контуров I и /, и записывается со знаком плюс (минус), если контурные токи направлены в общей ветви

одинаково (противоположно). Элемент Е матрицы контурных ЭДС равен алгебраической сумме ЭДС источников t-ro контура; со знаком плюс (минус) записываются ЭДС, направление которых совпадает (противоположно) с направлением контурного тока.

Пример. Для схемы рис. 4-8, а ......

Iri+jaLi+ri+jaU) - Г2 /coz,j

-Г2 (rz-b/eoia -I- в) Ге

Метод контурных токов

Принимая, что в каждом контуре, для которого составлялись уравнения по второму закону Кирхгофа, есть контурный ток, направление.которого совпадает с направлением обхода контура, нужно составить такое же число уравнений и с тем же правилом знаков, что и при записи уравнений по второму закону Кирхгофа.

Пример (рис. 4-8, а). Система уравнений:

где Z = ri-f /(oLi-f r2-f /ai-j; Z,2 = Zj, = - Гг

(так как контурные токи /j и /jj в элементе с сопротивлением Гг направлены противоположно);

Токи в ветвях:

Контурные уравнения записываются короче в матричной форме

Z(K) }(к) £(к)

где 1<и> - матрица-столбец искомых контурных токов; Z( ) - квадратная матрица контурных сопротивлений; - матрица-столбец контурных ЭДС. Каждый диагональный элемент (или собственное контурное сопротивление Zit матрицы Zt*) равен сумме комплексных сопротивлений ветвей.

(к)

Bt + B Ё~Ё, Ее

Токн в ветвях 1 = Вт(к), где - транспонированная матрица В.

Если схема содержит источники тока, то следует учесть замечания, сделанные выше относительно составления уравнений по второму закону Кирхгофа для схемы с источниками тока.

Матрицу контурных сопротивлений Z< ) можно получить н при помощи матрицы контуров В:

ZW = BZ< В,

где Z(>5) - диагональная матрица сопротивлений ветвей.

Пример. Для схемы рис. 4-8, а матрица В была получена при составлении уравнений Кирхгофа:

1 10 10 О 0-1 1 0 0-1 О 0 0 11-1

Диагональная матрица сопротивлений ветве (рнс. 4-8, с)

(n+iaL) О

О О О О

Произведение

О О О

О О О

- О О

О О О О О О -Пас, О О г.

(в)

Гг О je>Li О О

-Гц iaLs О О -Ге О О jeiL, - (DCs -Га

Транспонированная матрица 1 О О 1 -1

,(к)

О -1 -1

получается ранее записан-

и для 2 иая матрица.

Матрицу-столбец контурных ЭДС можно составить, применяя формулу

Ё< ) = В Ё<) - В2<)

где J№) - матрица-столбец токов источников тока.

Для цепей, которые имеют индуктивно связанные катушки, взаимные индуктивности учитываются в контурных сопротивлениях или уравнения записываются после устранения индуктивных связей.

Пример (рис. 4-10, а) Для контурных токов /j=/i и lii=h система уравнений:

Л Z.s % = £.; Zs, l\ + Z\= -4, где £ =r, -J- /roL,; £,2 =£2 = - /и£, -J- ]e>M = /k>Z.2 - юС - /юМ -J- jesLi - jesM

(так как контурный ток /jj направлен в катушках относительно одноименных выводов по-разному).

Метод узловых потенциалов

Для определения потенциалов всех узлов нужно составить систему уравнений по первому закону Кирхгофа для всех узлов, кроме одного, записывая каждый ток пс-формуле обобщенного закона Ома и принимая потенциал одного из узлов за нулевой. Получается система уравнений для потенциалов.

Пример (рис. 4-8, а). Схема имеет четыре узла. Выбирая, например, ф=ф4=0, запишем уравнения по первому закону Кирхгофа для трех любых узлов, например, остальных:

-/2+ h+ /в = 0: - h+ /2-f /8 = 0;

-и-i\-h = o

и по обобщенному закону Ома

- --(Ф2 + Ё,) + (4, - 0) -Ь

-Ь-(Фl-Фз-£в)=o. гв

- (О -ф2 -f Ё,)-Ь - (Ф2 - ф1 -Ь £2) +

ri+icaLi

+

jaL,

(ф2 - Фз) = 0:

----(Ф2 - Фз)--:-(О ~ Фа) -

---(ф1 - Фз - £в) - 0.

После вычисления потенциалов фь фг, Фз токи определяются по обобщенному закону Ома. Если какой-либо ток известен, например ток источника тока, то в зфавне-ниях вместо соответствующего слагаемого надо записать этот ток.

Уравнения по методу узловых потенциалов для каждого k-то из у-1 узлов могут быть записаны в виде

т=1 к

где Yimi - сумма проводимостей ветвей, соединяющих узлы k к т, взятая со знаком минус; Yhk - сумма проводимостей ветвей,

присоединенных к узлу k; 2 () -

гебраическая сумма произведений ЭДС на проводимость для всех ветвей, присоединенных к k-uy узлу; со знаком плюс (минус) записываются ЭДС, направленные к узлу (от узла).

Пример (рис. 4-8, а). При ф4=0 для узлов 1, 2, 3 соответственно

Ytt (ti+Yt2 Ч>2 + У1в Фз = 2 (У £);

Z21 Ф1 + Y рг + Y2S Фз* = 2 (F £);

51 ф. + ф2 -f Узз Фа = 2 (У £).

где Yii-.

/rati г

П2 =

К,з=Уа1 = - -;;

~ ~ Ге

J-+ +

Г1 + je>L, Гг jaLa

Y23 - Ys2--

Каз =

+-

£2+-

£eJ

£x-- £2: j-i -b /rat, Гг

(YE)--!- £

Узловые уравнения записываются короче в матричной форме:

у(у>ф =

где ф-матрица-столбец искомых потенциалов узлов (кроме одного - базисного, потенциал которого принят равным нулю); Y(y) - квадратная матрица узловых проводимостей; JWJ - матрица-столбец узловых