Теоретческшостш. эллктотехтт.....

узлов, то любое дерево содержит д=у-1 ветвей; число связей к-в-(у-1).

Сечением называется множество ветвей, удаление которых делит граф (схему) на два изолированных подграфа (подсхемы), один из которых в частном случае может быть изолированным узлом. Так, на

рис. 4-8, б показана пунктиром поверхность S, рассекающая граф на две части. Число главных контуров, каждый из которых состоит из ветвей дерева и одной из связей, тоже равно к. Главное сечение состоит нз связи и одной ветви дерева. Их число равно д.

Законы Кирхгофа

Первый закон Кирхгофа. При произвольно выбранных положительных направлениях токов во всех ветвях алгебраическая сумма мгновенных значений или комп-

лексных токов ветвей, присоединенных к узлу, равна нулю:

ft ft

где k=l, 2,..., к (n - число ветвей, сходящихся в узле.

При составлении уравнений токи, направленные от узла, записываются со знаком плюс, а направленные к узлу - со знаком минус (или наоборот). Например, для узла b (рис. 4-8, а)

- ii + ii+is = 0; /1-/3-/3 = 0.

-о/ а)

Рис. 4-9.

Второй закон Кирхгофа. При положительном направлении напряжения каждой к-к ветви и, совпадающем с положительным направлением тока i этой ветвн, для любого контура

k k ,

где со знаком плюс- записываются напряжения, направления которых совпадают с направлением обхода этого контура, и со знаком минус - противоположно направленные. Например, для контура, состоящего из ветвей /, 3, 5 на рис. 4-8, о.

Второй закон Кирхгофа можно записать и через напряжения на отдельных элементах схемы. Принимая всегда для пассивных элементов U=Ua6=a-fp6=ZI (рис. 4-9, с), т. е. положительное направление напряжения совпадающим с положительным направлением тока, а для активных элементов 1/=1/дб=фа-фб=£ (рис. 4-9,0), т. е. положительное направление напряжения от положительного зажима к отрщательному, получим, что алгебраическая сумма мгновенных или комплексных напряжений на т пассивных и активных элементах контура равна нулю:

Если напряжения источников перенести в правую часть уравнений н заменить ЭДС, то

S n= 2 ел, 2 £/п = 2

Здесь напряжения (падения напряжения) и ЭДС записываются со знаком плюс, если их направления совпадают с направлением обхода вдоль контура, и со знаком минус в противоположном случае. Например, для контура, состоящего из ветвей /, 3, 5 на рис. 4-8, а (обход по часовой стрел-ке),

или / iTM

tiii+Li dii/dt+Ls dis/dt- - J hdt = er, [ (з / у

fi h + loyLih + jfuLah-

/5= El,

Специальных стрелок для положительных направлений падений напряжения можно не ставить, если для пассивных элементов всегда принимать, что U=ZI, т. е.

и = Ua6=4>a - 4>6 = i (рис.4-9,с),

где фя и фб - комплексные потенциалы (под комплексным потенциалом понимают комплексное напряжение между данной точкой и точкой, потенциал которой принят за нулевой). Напряжения, уравновещиваю-щие ЭДС взаимной индукции, записываются с тем же знаком, что и падения напряжения на соответствующих индуктивных элементах, при согласном включении и с обратным знаком при встречном включении.

Пример (рис. 4-10, а) - ii + l\+h = 0; ri,+ jaLt\ + /иЛ1 jfj =

jaLfs + iaM I, 1г - jaLi h- jaM ij,= -£i-jeoC

Обобщенный закон Ома. Ток в какой-либо ветви определяется через разность потенциалов (напряжение) на концах ветви, ЭДС источников, включенных в эту ветвь, и сопротивление Z или проводимость Vj=l/Z ветви (рис. 4-11, а) по формуле

/ = Г(аб + 1-4) =

фа - фб -Ь £l - £2 Z

Правило знаков ясно из рнс. 4-11, а. Индуктивные связи с другими ветвями должны отсутствовать.

Распределение тока в параллельных ветвях. В двух параллельных ветвях, не содержащих источников электрической энергии и ЭДС индукции, токи распределяются обратно пропорционально сопротивлениям ветвей (рис. 4-11,6):

/1= /

/а=/

при трех параллельных ветвях с сопротивлениями Z Zg и Z3

токи h и /з определяются аналогично (круговой заменой индексов).

Рис. 4-U.

в случае произвольного числа параллельных ветвей (при отсутствии индуктивных связей) для вычисления тока в одной из них целесообразно пользоваться общей формулой

где Ih - ток в А-й ветви; Тн - проводимость k-v. ветви; У - сумма проводимостей всех ветвей.

Топографические векторные диаграммы

Потенциал каждой точки электрической цепи может быть представлен соответствующей точкой на комплексной плоскости, так что разность потенциалов между какими-либо двумя точками а и б цепи вы-

ражается вектором, соединяющим соответствующие две точки на плоскости. При этом вектор фа- Рб = йаб строится по обычному правилу вычитания векторов. Его началом является точка б, концом (стрелка) - точка а.

Совокупность векторов напряжений и ЭДС, построенных иа комплексной плоскости по этим правилам, образует топографическую диаграмму.

Пример. См. схему на рис. 4-10, а и топографическую диаграмму на рис. 4-10, б.

Резонанс напряжений и резонанс токов

Резонанс напряжений. Резонанс напряжений в двухполюснике (последовательный резонанс) наступает в том случае, когда

Рис. 4-12.

комплексное сопротивление двухполюсника 2 чисто активное (х=0).

В простейщем случае резонанс напряжений возможен в двухполюснике (ветви), содержащей последовательно включенные элементы с параметрами г, L, С (рис. 4-12, а):

При резонансе

x~a>L = х = 1/ыС,

ток Б фазе с общим напряжением

I=u/z = U/r,

напряжения на индуктивном и на емкостном элементах равны по значению:

напряжение на резистивном элементе Ur равно напряжению U между концами ветви: Ur = V (рис. 4-12,6).

Резонанс можно получить, изменяя L, С или частоту со. При резонансной частоте

СОд = l/\LC получается:

сОо L = 1/<Во С = Vl/C = р.

Величина Q==p - добротность характеризует резонансные свойства двухполюсника. Чем больще Q, тем больше Ul, Uc, I при резонансе:

Резонансные кривые /=-

kUQ

tg9 = Q(/% -1/fe),

где k-a/ao.

Резонанс токов. Резонанс токов в двухполюснике (параллельный резонанс) наступает в том случае, когда комплексная проводимость двухполюсника Y является чисто активной (Ь=0).

В простейшем случае резонанс токов возможен в двухполюснике, состоящем из двух параллельных ветвей (рис. 4-12, в), в одной из которых последовательно включены элементы с параметрами г, и L, а в другой- с параметрами гг и С. В этом случае

К = xji, = rj; =- xj, где

При резонансе b = bi-fb2=0, т. е. ==(gi+§2)t/ (общий ток в фазе с напряжением-рис. 4-12, г).

Резонанс можно получить, изменяя L, С, ri, Гг или частоту со. При резонансе

Если взять = = VL/C =р, то при любой частоте общий ток оказывается в фазе с напряжением (непрерывный резонанс) .

В идеальном контуре (рис. 4-12, в, при Г1 - Г2=0) резонансная частота cOq = cuq=

= 1/]/ТСи при резонансе 1с=1ь и /=0 (рис. 4-12, д); при любой частоте:

Uk

где к=(й/(йв.